Chapter 11 真空中的静电场

数学工具

势函数的梯度

三维直角坐标系

$$\nabla V = \hat{i} \frac{\partial V}{\partial x} + \hat{j} \frac{\partial V}{\partial y} + \hat{k} \frac{\partial V}{\partial z}$$

球坐标系

$$\nabla V = \hat{r} \frac{\partial V}{\partial r} + \hat{\theta} \frac{1}{r} \frac{\partial V}{\partial \theta} + \hat{\phi} \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial V}{\partial \phi}$$

平面极坐标系

$$\nabla V = \hat{r} \frac{\partial V}{\partial r} + \hat{\theta} \frac{1}{r} \frac{\partial V}{\partial \theta}$$

向量点乘的梯度

对于两个向量场 $\mathbf{a}(\mathbf{r})$ 和 $\mathbf{b}(\mathbf{r})$，它们的点积 $f(\mathbf{r}) = \mathbf{a}(\mathbf{r}) \cdot \mathbf{b}(\mathbf{r})$ 的梯度公式为：

$$\nabla\left( \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} \right) = (\nabla \mathbf{a}) \cdot \mathbf{b} + (\nabla \mathbf{b}) \cdot \mathbf{a} + \mathbf{a} \times (\nabla \times \mathbf{b}) + \mathbf{b} \times (\nabla \times \mathbf{a})$$

向量场的梯度矩阵

直角坐标系

假设有一个三维向量场 $\mathbf{F}(\mathbf{r}) = F_x(\mathbf{r}) \hat{i} + F_y(\mathbf{r}) \hat{j} + F_z(\mathbf{r}) \hat{k}$，向量场的梯度是一个二阶张量，表示向量场在空间中的变化。其表达式为：

$$\nabla \mathbf{F} = \begin{bmatrix} \frac{\partial F_x}{\partial x} & \frac{\partial F_x}{\partial y} & \frac{\partial F_x}{\partial z} \\ \frac{\partial F_y}{\partial x} & \frac{\partial F_y}{\partial y} & \frac{\partial F_y}{\partial z} \\ \frac{\partial F_z}{\partial x} & \frac{\partial F_z}{\partial y} & \frac{\partial F_z}{\partial z} \end{bmatrix}$$

描述向量场的每个分量 $F_x$、$F_y$、$F_z$ 在 $x$、$y$、$z$ 方向上的变化率。

球坐标系

设向量场 $\mathbf{F}(r, \theta, \phi) = F_r \hat{r} + F_\theta \hat{\theta} + F_\phi \hat{\phi}$​，在球坐标系中，向量场的梯度为：

$$\nabla \mathbf{F} = \begin{bmatrix} \frac{\partial F_r}{\partial r} & \frac{1}{r} \frac{\partial F_r}{\partial \theta} & \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial F_r}{\partial \phi} \\ \frac{\partial F_\theta}{\partial r} & \frac{1}{r} \frac{\partial F_\theta}{\partial \theta} & \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial F_\theta}{\partial \phi} \\ \frac{\partial F_\phi}{\partial r} & \frac{1}{r} \frac{\partial F_\phi}{\partial \theta} & \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial F_\phi}{\partial \phi} \end{bmatrix}$$

描述向量场的每个分量 $F_r$、$F_\theta$、$F_\phi$ 在 $r$、$\theta$、$\phi$ 方向上的变化率，并且由于球坐标系的几何特性，涉及额外的缩放因子 $\dfrac{1}{r}$ 和 $\dfrac{1}{r \sin \theta}$。

向量场的散度

直角坐标下向量场的散度

$$\nabla \cdot \vec{E} = \frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} + \frac{\partial E_z}{\partial z}$$

球坐标下向量场的散度

$$\nabla \cdot \vec{E} = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 E_r \right) + \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta E_\theta \right) + \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial E_\phi}{\partial \phi}$$

11.1 电学基本概念

库仑定律

$$\boldsymbol{f}=\dfrac{q_1 q_2}{4 \pi \epsilon_0 r^2}\boldsymbol{e}_r$$

电力叠加原理

$$\boldsymbol{f} = \sum_{i=1}^n \boldsymbol{f}_i = \dfrac{1}{4 \pi \epsilon_0} \sum_{i=1}^n \dfrac{qq_i}{r_i^2} {\boldsymbol{e}_r}_i = \dfrac{1}{4 \pi \epsilon_0} \sum_{i=1}^n \dfrac{qq_i}{r_i^3} \boldsymbol{r}_i$$

11.2 电场与电场强度

电场强度

$$\boldsymbol{E} = \dfrac{\boldsymbol{f}}{q_0}$$

电场强度的计算

• 点电荷的电场

$$\boldsymbol{E} = \dfrac{\boldsymbol{f}}{q_0} = \dfrac{q}{4 \pi \epsilon_0 r^2}\boldsymbol{e}_r = \dfrac{q}{4 \pi \epsilon_0 r^3}\boldsymbol{r}$$

• 点电荷系的电场

$\boldsymbol{E} = \sum_{i=1}^n \boldsymbol{E}_i =\dfrac{1}{4 \pi \epsilon_0} \sum_{i=1}^n \dfrac{q_i}{r_i^2} {\boldsymbol{e}_r}_i = \dfrac{1}{4 \pi \epsilon_0} \sum_{i=1}^n \dfrac{q_i}{r_i^3} \boldsymbol{r}_i$

• 连续分布电荷系统的电场

$\boldsymbol{E} = \int dE = \int \dfrac{dq}{4 \pi \epsilon_0 r^3} \boldsymbol{r} = \int \dfrac{dq}{4 \pi \epsilon_0 r^2} \boldsymbol{e}_r$

• 具体的集中情况

  • 电荷体密度为$\rho$的三维体电荷分布:

    $$dq = \rho dV$$

    $$\boldsymbol{E} = \iiint \dfrac{\rho dV}{4 \pi \epsilon_0 r^3} \boldsymbol{r}$$

  • 电荷面密度为$\sigma$的二维面电荷分布：

    $$dq = \sigma dS$$

    $$\boldsymbol{E} = \iint \dfrac{\sigma dS}{4 \pi \epsilon_0 r^3} \boldsymbol{r}$$

  • 电荷线密度为$\lambda$的一维线电荷分布：

    $$dq = \lambda dl$$

    $$\boldsymbol{E} = \int \dfrac{\lambda dl}{4 \pi \epsilon_0 r^3} \boldsymbol{r}$$

非均匀电场中带电体受力

$$\vec{F} = \int d\vec{F} = \int \vec{E} dq$$

若带电体为电荷线密度为$\lambda$的一维线电荷分布

$$\vec{F} = \int \vec{E} \lambda \, dl$$

11.3 高斯定理

电通量

通过面积元 $d \boldsymbol{S}$ 的电通量为

$$d \Phi_e = \boldsymbol{E} \cdot d \boldsymbol{S}$$

对于电场中任一封闭曲面$S$，电通量为

$$\Phi_e = \oiint_S \boldsymbol{E} \cdot d\boldsymbol{S}$$

高斯定理

$$\oiint_{S} \boldsymbol{E} \cdot d \boldsymbol{S} = \dfrac{1}{\epsilon_0} \sum_{i=1}{n} q_i$$

如果电荷分布是连续体分布，则有

$$\oiint_{S} \boldsymbol{E} \cdot d \boldsymbol{S} = \dfrac{1}{\epsilon_0} \iiint_{V} \rho dV$$

高斯定理可以方便地解决具有电荷分布具有对称性的情况。常见的对称性模型包括：

• 球对称
  • 均匀带电球面
  • 电荷分布为球对称的球体或球壳
• 柱对称
  • 无限长均匀带电圆柱体
  • 无限长均匀带电圆柱面
  • 无限长均匀带电直线
• 面对称
  • 无限大均匀带电平板
  • 无限大均匀带电平面

除了考虑模型的对称性，选取高斯面还要注意：

• 高斯面要经过所求场点
• 形状应该规则（方便计算）：球，柱
• 平行原则：尽可能使高斯面上的点的场强大小相等，且方向与高斯面法向方向一致
  • 这样的高斯面上$\oiint_{S} \boldsymbol{E} \cdot d \boldsymbol{S}$就可以直接简化为$E \cdot S$
• 垂直原则：尽可能使高斯面上的点的场强方向与高斯面法向垂直
  • 这样的高斯面上$\oiint_{S} \boldsymbol{E} \cdot d \boldsymbol{S} = 0$

微分形式

电场强度的散度与电荷密度成正比（比值为真空介电常数）

$$\nabla \cdot \vec{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$$

球坐标系下

$$\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}(r^2E_r) + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}(\sin\theta E_\theta) + \frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial E_\phi}{\partial\phi} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$$

11.4 电势

静电场环流定理

$$\oint_{L} \vec{E}d \vec{l} = 0$$

这说明静电场是保守力场

电势能

$$W_a = A_{a p_0} = \int_{a}^{p_0} \vec{F} d\vec{l} = \int_{a}^{p_0} q_0 \vec{E} d \vec{l} = q_0 \int_{a}^{p_0} \vec{E} d \vec{l} = q_0 V_a$$

• $p_0$为零势能点或零势能面，一般默认无穷远处为电势零点，取$p_0= \infty$

电势差

$$V_{ab} = \dfrac{W_a-W_b}{q_0} = V_a - V_b = \int_{a}^b \vec{E} d \vec{l}$$

电势差与电场力做功的关系

$$A_{ab}=q \int_{a}^b \vec{E} d \vec{l} = q(V_a-V_b)$$

电势

$$V_a = \int_{a}^{p_0} \vec{E} d \vec{l}$$

• $p_0$为零势点或零势面，一般默认无穷远处为电势零点，取$p_0= \infty$
• （常用）面对称情况：$V(r)=-\int_{r_0}^{r} Edx$
• （常用）球对称情况： $V(r) =- \int_{r_0}^{r} Edr$

点电荷电势

$$V = \dfrac{q}{4 \pi \epsilon_0 r}$$

电势叠加原理

任意场点的电势等于各个点电荷在同一场点的代数和

$$V=\sum_{i=1}^{n}V_i = \sum_{i=1}^n \dfrac{q_i}{4 \pi \epsilon_0 r_i}$$

对于连续电荷分布带电体的电势，有

$$V=\int dV=\int \dfrac{dq}{4 \pi \epsilon_0 r}$$

电势与电场强度的微分关系

$$\boldsymbol{E} = -\dfrac{dV}{dl_n}\vec{e_n} = - \nabla V$$

直角坐标系:

$$\boldsymbol{E} = -(\dfrac{\partial V}{\partial x} \vec i+\dfrac{\partial V}{\partial y} \vec j+\dfrac{\partial V}{\partial z} \vec k)$$

平面极坐标系：

$$\boldsymbol{E} = -(\dfrac{\partial V}{\partial r} \vec e_r+\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial V}{\partial \theta} \vec e_\theta)$$

11.5 常用模型及解题技巧

电偶极子模型

定义电偶极矩：$\vec p = q \vec l$，方向为$-q$指向$+q$，且有 $p = ql$

电偶极子在P点的电势：

$$V = \dfrac{q}{4 \pi \epsilon_0}\dfrac{r_--r_+}{r_-r_+} \approx \dfrac{qlcos\theta}{4 \pi \epsilon_0 r^2}= \dfrac{\vec p \cdot \vec r}{4 \pi \epsilon_0 r^3} = \dfrac{p cos \theta}{4 \pi \epsilon_0 r^2}$$

在对电势$V$求偏导得到电场强度沿着极坐标系的分量

$$\boldsymbol{E} = -(\dfrac{\partial V}{\partial r} \vec e_r+\dfrac{1}{r}\dfrac{\partial V}{\partial \theta} \vec e_\theta) =\dfrac{p cos \theta}{2 \pi \epsilon_0 r^3} \vec e_r + \dfrac{p sin \theta}{4 \pi \epsilon_0 r^3} \vec e_\theta$$

再代入几何关系

$$\vec{e_{\theta}} = -\dfrac{1}{\sin \theta} \vec{e_p} + \dfrac{\cos \theta}{\sin \theta} \vec{e_r}$$

可得电场强度沿着$\vec{r},\vec{p}$​的分量

$$\mathbf{E} = \dfrac{1}{4 \pi \epsilon_0 r^3}[- \vec p + \dfrac{3(\vec r \cdot \vec p)\vec r}{r^2}]$$

也可以把电势$V$​转换到直角坐标系再求偏导，或者使用极坐标系和直角坐标系单位向量的关系（看清楚这边的$\theta$​指的是哪个角），得到电场强度沿着直角坐标系的分量

这边用几何关系来计算

$$\vec{e_r} = \sin \theta \vec{i} + \cos \theta \vec{j} \\ \vec{e_\theta} = \cos \theta \vec{i} - \sin \theta \vec{j}$$

从而得到

$$E_x = \dfrac{p \cos \theta \sin \theta}{2 \pi \epsilon_0 r^3} + \dfrac{p \sin \theta \cos \theta}{4 \pi \epsilon_0 r^3} = \dfrac{3 p \sin \theta \cos \theta}{4 \pi \epsilon_0 r^3} \\ E_z = \dfrac{p \cos^2 \theta}{2 \pi \epsilon_0 r^3} - \dfrac{p \sin^2 \theta}{4 \pi \epsilon_0 r^3} = \dfrac{p}{4 \pi \epsilon_0 r^3} (3\cos^2 \theta - 1)$$

均匀外场中的电偶极子

受的静电场力为零$\vec{F} = 0$

力偶矩为$M = Fl sin\theta = qElsin \theta = pEsin \theta$, $\vec M = \vec p \times \vec E$

电势能为$W = W_+ + W_- = q(V_+ + V_-) = -qElcos \theta = -pE cos \theta= - \vec p \cdot \vec E$

非均匀外场中的电偶极子

电势能仍然为

$$W = - \vec{p} \cdot \vec{E}$$

力矩仍然为

$$\vec{M} = \vec{p} \times \vec{E}$$

非均匀外场中电偶极子存在静电场力

$$\vec{F} = - \nabla W = (\vec{p} \cdot \vec{\nabla}) \vec{E}$$

---

上面这个式子推导过程如下

$$\vec{F} = -\nabla\left( - \mathbf{p} \cdot \mathbf{E} \right) = \nabla\left(\mathbf{p} \cdot \mathbf{E} \right) \\ = (\nabla \mathbf{p}) \cdot \mathbf{E} + (\nabla \mathbf{E}) \cdot \mathbf{p} + \mathbf{p} \times (\nabla \times \mathbf{E}) + \mathbf{E} \times (\nabla \times \mathbf{p})$$

由于电偶极矩$\mathbf{p}$为常矢量

$$\nabla \mathbf{p} = 0 \quad \nabla \times \mathbf{p} = 0$$

对于静电场，有（静电场环流定理）

$$\nabla \times \mathbf{E} = 0$$

从而可以得到

$$\vec{F} = \mathbf{p} \cdot (\nabla \mathbf{E}) = \begin{bmatrix} \frac{\partial E_x}{\partial x} & \frac{\partial E_x}{\partial y} & \frac{\partial E_x}{\partial z} \\ \frac{\partial E_y}{\partial x} & \frac{\partial E_y}{\partial y} & \frac{\partial E_y}{\partial z} \\ \frac{\partial E_z}{\partial x} & \frac{\partial E_z}{\partial y} & \frac{\partial E_z}{\partial z} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p_x \\ p_y \\ p_z \end{bmatrix}$$

注意：三维坐标系中点电荷$Q$的电场可以如下表示，并且可以算出电场的梯度矩阵，是一个对角矩阵

$$\vec{E} = \dfrac{Q}{4\pi \epsilon r^3} \vec{r} = \dfrac{Q}{4\pi \epsilon r^3} (x\vec{i} + y \vec{j} + z \vec{k}) \\ \nabla \mathbf{E} = \begin{bmatrix} \frac{\partial E_x}{\partial x} & \frac{\partial E_x}{\partial y} & \frac{\partial E_x}{\partial z} \\ \frac{\partial E_y}{\partial x} & \frac{\partial E_y}{\partial y} & \frac{\partial E_y}{\partial z} \\ \frac{\partial E_z}{\partial x} & \frac{\partial E_z}{\partial y} & \frac{\partial E_z}{\partial z} \end{bmatrix} = \dfrac{Q}{4\pi \epsilon r^3} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

几个重要模型的电场强度

这些结果是通过积分或者高斯定理求得的，有些在考场上建议记住结论直接用。当然，也要熟悉它们是如何推导出来的。

另外，对这些电场强度积分，就可以得到电势。

• 均匀带电线密度为$\lambda$的直线

  

  $$E_{x} = \dfrac{\lambda}{4\pi \epsilon_0 a} (\sin \theta_2 - \sin \theta_1) \\ E_{y} = \dfrac{\lambda}{4\pi \epsilon_0 a} (\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$$

• 均匀带电的无限长直线，电荷线密度为 $\lambda$

$$\boldsymbol{E(r)} = \dfrac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 r} \boldsymbol{e}_r = \dfrac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 r^2} \boldsymbol{r}$$

• 带电量为$Q$，半径为$R$的均匀带电细圆环

  

$$\boldsymbol{E} = \dfrac{xQ}{4 \pi \epsilon_0 (x^2+R^2)^{\frac{3}{2}}}$$

• 电荷面密度为$\sigma$，半径为$R$的均匀带电薄圆盘的轴线上

  

$$\boldsymbol{E} = \dfrac{\sigma}{2 \epsilon_0}(1-\dfrac{x}{\sqrt{x^2+R^2}})$$

• 无限大均匀带电平面

  

$$\boldsymbol{E} = \dfrac{\sigma}{2 \epsilon_0} \boldsymbol{e}_n$$

• 电荷量为$Q$的均匀带电球面

  $$\boldsymbol{E}= \begin{cases} \ 0 & r<R \\ \ \dfrac{Q}{4 \pi \epsilon_0 r^2} \boldsymbol{e}_r & r>R \\ \end{cases}$$

• 电量为Q的均匀带电球体

$$\boldsymbol{E}= \begin{cases} \ \dfrac{Q}{4 \pi \epsilon_0 R^3} \boldsymbol{r} & r<R \\ \ \dfrac{Q}{4 \pi \epsilon_0 r^2} \boldsymbol{e}_r & r>R \\ \end{cases}$$

• 电荷体密度为$\rho$的均匀带电球体

  $$\boldsymbol{E}= \begin{cases} \ \dfrac{\rho}{3 \epsilon_0} \boldsymbol{r} & r<R \\ \ \dfrac{\rho R^3}{3 \epsilon_0 r^2} \boldsymbol{e}_r & r>R \\ \end{cases}$$

• 电荷线密度为$\lambda$的无限长带电圆柱面

  $$\boldsymbol{E}= \begin{cases} \ 0 & r<R \\ \ \dfrac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 r} \boldsymbol{e}_r & r>R \\ \end{cases}$$

• 电荷线密度为$\lambda$的无限长均匀带电圆柱体

  

$$\boldsymbol{E}= \begin{cases} \ \dfrac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 R^2} \boldsymbol{r} & r<R \\ \ \dfrac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0 r} \boldsymbol{e}_r & r>R \\ \end{cases}$$

几个重要模型的电势

• 均匀带电圆环轴线上

  

  $$V = \dfrac{q}{4\pi \epsilon_0 r} = \dfrac{q}{4\pi \epsilon_0 \sqrt{x^2 + R^2}}$$

• 均匀带电圆盘轴线上

  

  把上面的那个圆环带电量$q$替换成面元所带电荷量$dq = \sigma dS = 2\pi r dr$积分一下就可以得到

  $$V = \int_{0}^R \dfrac{\sigma 2\pi r \, dr}{4\pi \epsilon_0 \sqrt{x^2 + r^2}} = \dfrac{\sigma}{2 \epsilon_0} (\sqrt{x^2 + R^2} - x)$$

• 电荷量为Q的均匀带电球体

  $$V = \begin{cases} \ \dfrac{q}{4 \pi \epsilon_0 r} & r>R \\ \ \dfrac{q(3R^2 - r^2)}{8 \pi \epsilon_0 R^3} & r \leq R \end{cases}$$

• 电荷量为Q的均匀带电球面

  

  $$V = \begin{cases} \ \dfrac{q}{4 \pi \epsilon_0 r} & r>R \\ \ \dfrac{q}{4 \pi \epsilon_0 R} & r \leq R \end{cases}$$

• 无限长均匀带电圆柱面

  $$V = \begin{cases} \ \dfrac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0} \ln \dfrac{r_0}{r} & r>R \\ \ \dfrac{\lambda}{2 \pi \epsilon_0} \ln \dfrac{r_0}{R} & r \leq R \end{cases}$$

电场强度的计算思路

• 最基本方法：积分
  • 适用：没法用高斯定理的一般情况
  • 建立一个合适的坐标系
  • 确定电荷密度
  • 用电荷密度表示电荷元的电量$dq$（求$dq$）
  • 通过$dq$，计算电荷元的电场强度$d\boldsymbol{E}$（求dE）
  • 分解$d\boldsymbol{E}$为三个方向上的分量$d\boldsymbol{E}_x$ $d\boldsymbol{E}_y$ $d\boldsymbol{E}_z$
    • 显然，一维情况可以直接跳过这一步，二维情况只需两个分量
    • 对称性分析：对于二维或三维情况，往往能找到对称性，使其中某个方向的积分后结果显然为0。这样就能直接跳过这个方向分量的积分，简化计算
  • 整理变量，积分，求场强分量，得到电场强度
• 优先方法：高斯定理
  • 适用：对称性好的模型，或者补偿法得到的对称性好的模型
  • 找对称性
  • 选取高斯面（具体原则见前面）
  • 分析高斯面内电荷
  • $\oiint_{S} \boldsymbol{E} \cdot d \boldsymbol{S}$，情况好的话直接算$E \cdot S$
  • 代入公式，计算
• 电势求导/求偏导
  • 情况1：给了电势方程$V=V(x,y,z)$，那就直接$\boldsymbol{E} = - \nabla V$
  • 情况2：无法直接计算电场强度，或者电势比电场强度更方便计算
    • 先用电势叠加原理计算电势，然后再对电势求偏导得到电场强度的每个分量
    • 典型例子：电偶极子模型
    • 例子2：非均匀带电细圆环轴线上电场强度

电势的计算思路

• 最基本方法：电场强度积分

  • 先计算电场强度，然后积分算电势

    $$V_a = \int_{a}^{p_0} \vec{E} d \vec{l}$$

• 方法2：电势叠加原理

  • 先计算空间每个电荷元使得所计算点具有的电势$dV$，再对$dV$积分

    $$V=\int dV=\int \dfrac{dq}{4 \pi \epsilon_0 r}$$

  • 一些电势叠加原理的二级结论

    • 均匀带电球面在球面外的电势与电量集中在球心的点电荷的电势分布相同，在球面内为常数（保持恒定），并且一般来说两者在球面上这个交界点处连续。
    • 球对称带电球体在球外的电场和电势与电量集中在球心的点电荷的电势分布相同

  • 如果拿捏不准就还是别乱用这些结论，积一下分用不了多少时间的

电势能的计算方法

• 用定义，算电场力做功

  $$W = \int_{a}^{p_0} \vec{F} d\vec{l}$$

• 用电势去计算

  $$W = \int dW = \int V dq$$

  • 线分布情况

    $$W = \int V \lambda \, dl$$

电势为0等势面的求法

• 建立一个合适的坐标系
• 列出方程 $V_+ + V_-=0$
• 通过电势计算（一般是方法2），把$V_+$和$V_-$计算出来，代入上述方程
• 化简，得到等势面方程

补偿法

• 补偿法的目的是恢复对称性
  • 对于电场强度求解，这往往是为了使其适用高斯定理计算
  • 对于电势求解，这往往是为了拼合成已知模型
• 适用于那些一眼“挖孔”，从完整的图形里抠掉一块的题目
• 把挖空区域用完整的带原来电荷的区域+规则的带相反电荷区域等效替代
• 常见适合使用补偿法的模型：
  • 挖掉一个小球的大球
  • 半球问题
  • 半圆柱面问题