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Chapter12 静电场与物质的相互作用

Chapter12 静电场与物质的相互作用

补充

电场唯一性定理

如果

  1. 每个导体的电荷已知
  2. 每个导体的电势已知

那么就可以求得唯一的电场分布情况

也就是说如果猜到一种符合给定情形（例如导体内部场强处处为零）的电场分布情况，那么它就是唯一的（对的）

12.1 静电场中的导体

静电平衡时导体的电荷分布

由导体的特性，有以下前提条件：

  • 导体内部的场强处处为零
  • 导体内部和导体表面处处电势相等。整个导体是个等势体，导体表面是个等势面。

实心导体

电荷只分布在导体表面上，导体内部处处不带电

腔中无电荷的空腔导体

电荷只分布在导体外表面上

腔中有电荷的空腔导体

设导体原带电QQ，电荷只分布在导体内外表面上

内表面带电−q-q，外表面带电Q+qQ+q

导体表面电荷分布

image-20241105141339406

∮SE⃗⋅dS⃗=∫ΔS1E⊥⃗⋅dS⃗+∫ΔS2+ΔS3E⃗⋅dS⃗=E⊥ΔS=σΔSϵ0\oint_{S} \vec{E} \cdot d \vec{S} = \int_{\Delta S_1} \vec{E_\perp} \cdot d \vec{S} + \int_{\Delta S_2 + \Delta S_3} \vec{E} \cdot d \vec{S} = E_{\perp} \Delta S = \dfrac{\sigma \Delta S}{\epsilon_0}

由此可以得到结论：

导体表面（及表面附近）的场强垂直于导体表面，大小与该表面的电荷面密度成正比，为σϵ0\dfrac{\sigma}{\epsilon_0}

E⃗⊥=σϵ0en⃗\vec E_{\perp} = \dfrac{\sigma}{\epsilon_0} \vec{e_n}

一种不是很严谨的理解：其中σ2ϵ0\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}由导体表面附近区域（在微观上可以看作无限大平面）的电荷贡献，σ2ϵ0\dfrac{\sigma}{2\epsilon_0}由导体所有其他部分贡献

静电屏蔽

  1. 空腔导体起到屏蔽外电场的作用
  2. 接地的空腔导体可以屏蔽内外电场的影响

12.2 静电场中的电介质

极化电荷

电极化强度矢量

做统计处理，引入电极化强度矢量

取ΔV\Delta V，微观上足够大而宏观上足够小的空间区域

P⃗=∑ΔVpi⃗ΔV\vec{P} = \dfrac{\sum_{\Delta V} \vec{p_i}}{\Delta V}

又有实验规律，外电场不太强时，介质内任意点的电极化强度与该点电场强度成正比

P⃗=χeϵ0E⃗\vec{P} = \chi_e \epsilon_0 \vec{E}

极化电荷分布规律

介质表面上的极化电荷

取一宏观上足够小，微观上足够大的斜圆柱体元，其斜高平行于P⃗\vec{P}，一个底面在内部，另一个底面在表面

斜圆柱体元的体积为

dV=dS⋅dlcos⁡θ∑ipi⃗=(dl⋅dScos⁡θ)P⃗=Pdl⃗dScos⁡θdV = dS \cdot dl \cos \theta \\ \sum_{i} \vec{p_i} = (dl \cdot dS \cos \theta) \vec{P} = P d\vec{l} dS \cos \theta

介质的极化使两底面产生极化电荷

±σ′dS\pm \sigma' dS

将体积元整体看成一个电偶极子，其总体电偶极矩为

∑ipi⃗=σ′dSdl⃗  ⟹  σ′=Pcos⁡θ=P⃗⋅en⃗\sum_i \vec{p_i} = \sigma' dS d\vec{l} \\ \implies \sigma' = P \cos \theta = \vec{P} \cdot \vec{e_n}

不同介质交界面处的极化电荷分布

σ′=P1⃗en1⃗+P2⃗en2⃗=(P1⃗−P2⃗)en1⃗\sigma' = \vec{P_1} \vec{e_{n1}} + \vec{P_2} \vec{e_{n2}} = (\vec{P_1} - \vec{P_2}) \vec{e_{n1}}

高斯闭合曲面内的极化电荷

在已极化的介质内任意作一高斯闭合曲面S，只有穿过高斯面S的分子对S内的极化电荷有贡献。

故取一宏观上足够小，微观上足够大，穿过高斯面的斜圆柱体元进行分析，其一底面在高斯面内侧，一底面在高斯面外侧

闭合曲面S内侧上的极化电荷密度为−σ′- \sigma'

∭Vρ′dV=∑inSq′=−∯Sσ′dS=−∯SP⃗⋅dS⃗=−∭V∇⋅P⃗dV\iiint_{V} \rho' dV= \sum_{in S} q' = - \oiint_{S} \sigma' dS = - \oiint_{S} \vec{P} \cdot d \vec{S} = - \iiint_{V} \nabla \cdot \vec{P} dV

从而得到极化电荷体密度和电极化强度的关系

ρ′=−∇⋅P⃗\rho' = - \nabla \cdot \vec{P}

介质中的高斯定理

对高斯面内的自由电荷和极化电荷总体应用高斯定理，有

∯SE⃗⋅dS⃗=1ϵ0(∑inSqf+∑inSq′)\oiint_{S} \vec{E} \cdot d \vec{S} = \dfrac{1}{\epsilon_0} (\sum_{in S} q_f + \sum_{in S} q')

移项并利用前面高斯面内极化电荷的分析结果

∯S(ϵ0E⃗+P⃗)⋅S⃗=∑inSqf\oiint_{S} (\epsilon_0 \vec{E} + \vec{P}) \cdot \vec{S} = \sum_{in S} q_f

电位移矢量D⃗\vec{D}

定义电位移矢量

D⃗=ϵ0E⃗+P⃗\vec{D} = \epsilon_0 \vec{E} + \vec{P}

就可以得到

∯SD⃗⋅dS⃗=∑inSqf=∭VρfdV\oiint_{S} \vec{D} \cdot d\vec{S} = \sum_{in S} q_f = \iiint_{V} \rho_f dV

转化为微分形式是

ρf=∇⋅D⃗\rho_f = \nabla \cdot \vec{D}

这就是介质中的高斯定理：在任何静电场中，通过任意闭合曲面的电位移矢量通量等于该曲面所包围的自由电荷的代数和。

电位移矢量D⃗\vec{D}和总电场强度E⃗\vec{E}的关系

利用前面提到过的实验规律，可以得到

D⃗=ϵ0E⃗+P⃗=ϵ0(1+χe)E⃗=ϵ0ϵrE⃗\vec{D} = \epsilon_0 \vec{E} + \vec{P} = \epsilon_0 (1 + \chi_e) \vec{E} = \epsilon_0 \epsilon_r \vec{E}

令ϵr=(1+χe)\epsilon_r = (1+ \chi_e)为介质的相对介电常数

ϵ=ϵ0ϵr\epsilon = \epsilon_0 \epsilon_r为介质的介电常数，则有

D⃗=ϵE⃗P⃗=ϵ0χeE⃗=ϵ0(ϵr−1)E⃗\vec{D} = \epsilon \vec{E} \\ \vec{P} = \epsilon_0 \chi_e \vec{E} = \epsilon_0 (\epsilon_r - 1)\vec{E}

同时，易得极化强度P⃗\vec{P}和电位移矢量D⃗\vec{D}之间的关系（做题常用）

P⃗=ϵr−1ϵrD⃗=χe1+χeD⃗\vec{P} = \dfrac{\epsilon_r - 1}{\epsilon_r} \vec{D} = \dfrac{\chi_e}{1 + \chi_e} \vec{D}

极化电荷产生的电场强度E′⃗\vec{E'}，自由电荷产生的电场强度E0⃗\vec{E_0}，总的电场强度E⃗\vec{E}，则有

E′⃗=−1ϵ0P⃗=(1−ϵr)E⃗=−χeE⃗=1−ϵrϵrE0⃗E0⃗=1ϵ0D⃗=ϵrE⃗E⃗=E′⃗+E0⃗=1ϵrE0⃗=11−ϵrE′⃗\vec{E'} = -\dfrac{1}{\epsilon_0} \vec{P} = (1-\epsilon_r) \vec{E} = - \chi_e \vec{E} = \dfrac{1- \epsilon_r}{\epsilon_r} \vec{E_0} \\ \vec{E_0} = \dfrac{1}{\epsilon_0} \vec{D} = \epsilon_r \vec{E} \\ \vec{E} = \vec{E'} + \vec{E_0} = \dfrac{1}{\epsilon_r} \vec{E_0} = \dfrac{1}{1-\epsilon_r} \vec{E'}

总结关系图

对介质内部极化电荷，有如下关系图

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该知识点的常见题目类型

第二类问题，已知外电场E0⃗\vec{E_0}和介质的相对介电常数，求

介质边界两侧的静电场（界面处的连续性问题）

讨论非常靠近边界两侧D⃗\vec{D}或E⃗\vec{E}的关系

场强与界面垂直

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设界面没有自由电荷
由介质中的高斯定理

−D1ΔS+D2ΔS=0  ⟹  D1=D2-D_1 \Delta S + D_2 \Delta S = 0 \implies D_1 = D_2

而界面上有极化电荷，E⃗\vec{E}是不连续的，并且满足以下关系

ϵ1E1=ϵ2E2\epsilon_1 E_1 = \epsilon_2 E_2

D⃗\vec{D}线连续，E⃗\vec{E}线中断

场强与界面斜交

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利用介质中的高斯定理

−D1cos⁡θ1ΔS+D2cos⁡θ2ΔS=0  ⟹  D1n=D2n  ⟹  ϵ1E1=ϵ2E2-D_1 \cos \theta_1 \Delta S + D_2 \cos \theta_2 \Delta S = 0 \implies D_{1n} = D_{2n} \implies \epsilon_1 E_1 = \epsilon_2 E_2

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再利用环流定理

−E1sin⁡θ1Δl+E2sin⁡θ2Δl=0  ⟹  E1t=E2t  ⟹  D1ϵ1=D2ϵ2- E_1 \sin \theta_1 \Delta l + E_2 \sin \theta_2 \Delta l = 0 \implies E_{1t} = E_{2t} \implies \dfrac{D_1}{\epsilon_1} = \dfrac{D_2}{\epsilon_2}

利用以上结论，可以进一步推出

tan⁡θ1tan⁡θ2=ϵ1ϵ2\dfrac{\tan \theta_1}{\tan \theta_2} = \dfrac{\epsilon_1}{\epsilon_2}

12.3 电容器

电容定义

C=qVC=\dfrac{q}{V}

通用的电容计算思路：

  • 先设带电QQ 或者 先设电荷线密度λ\lambda或者面密度σ\sigma
  • 计算电场强度EE
  • 用EE积分计算电势差UU
  • 使用电容定义式C=QUC=\dfrac{Q}{U}计算电容器电容

孤立导体的电容

常规模型都很好算，不写了

电容器的电容

  • 平板电容器：介质介电常数ϵ\epsilon，板面积SS，板间距dd

    C=ϵSdC=\dfrac{\epsilon S}{d}

    • 推广：填入多层介质（相当于电容串联）

      C=ϵ0S∑idiϵriC=\dfrac{\epsilon_0 S}{\sum_{i} \frac{d_i}{\epsilon_{ri}}}

    • 推广：插入电介质板（横向多层介质）（相当于电容并联）

      C=ϵSd∑iϵriLi∑iLi=ϵ0d∑iϵriSiC=\dfrac{\epsilon S}{d} \dfrac{\sum_i \epsilon_{r_i}L_i}{\sum_i L_i} = \dfrac{\epsilon_0}{d} \sum_{i} \epsilon_{ri} S_i

    • 推广：放入多块导体板

      C=ϵ0Sd−d1′−d2′−⋯−di′C=\dfrac{\epsilon_0 S}{d - d'_1 - d'_2 - \cdots - d'_i}

  • 柱形电容器（介质介电常数ϵ\epsilon，外径R2R_2，内径R1R_1）：

    C=2πϵllnR2R1C=\dfrac{2 \pi \epsilon l}{ln \dfrac{R_2}{R_1}}

    • 常见问题1：给定外径，内外电势差U，求最小电场强度E
      • 用U表示E
      • 求导，找极值
    • 常见问题2：给定外径，最大电场强度E，求最大电势差U
      • 用E表示U
      • 求导，找极值

  • 球形电容器（介质介电常数ϵ\epsilon，内径RAR_A，外径RBR_B）：

    C=4πϵRARBRB−RAC=4 \pi \epsilon \dfrac{R_A R_B}{R_B-R_A}

    • 常见问题：给定外径，内外电势差U，求最小电场强度E
      • 思路和柱形那个完全一样

  • 一些题目模型的思考

    • 两根平行长直导线单位长度的电容

电容器的串并联

一般认为：

  • 串联时，两个电容器带电量相等（部分题目会有不符合这个的特殊情况）

  • 并联时，两个电容器电势差相等

  • 串联

    1C=∑i1Ci\dfrac{1}{C}= \sum_{i} \dfrac{1}{C_i}

  • 并联

    C=∑iCiC = \sum_{i} C_i

  • 灵活应用：

    • 前面的那种多种电介质情况都可以等效成串并联来算，结果都是对的，而且方便
    • 很多共用极板的情况也可以等效成两个电容串并联来看

出题常见模型中的问题

  1. 电路断开或者根本没有连电路的情况下充入介质或取出介质，极板上所带电量QQ不变，电势差ΔV\Delta V改变，电容储能WeW_e改变，WeW_e的改变是外力做功引起的。
  2. 如果取出介质时候电势差ΔV\Delta V恒定，那么这个时候电容应该接入了电源，极板上所带电量QQ也发生改变。这时候静电能WeW_e的改变量是是由外力做功和电流做功共同引起的，考虑的时候不要漏掉后者。简要来讲，过程前后电容两端的Q若发生了变化，就要考虑电流做功了。

12.4 静电场的能量

带电体系的静电能

点电荷q0q_0处于qq的电场中，相互作用电势能为

We=q0q4πϵ0rW_e=\dfrac{q_0q}{4 \pi \epsilon_0 r}

点电荷系的静电能

  • 两个点电荷之间的静电相互作用能（互能）

    We=q1q24πϵ0r=12(q1V1+q2V2)W_e=\dfrac{q_1q_2}{4 \pi \epsilon_0 r} = \dfrac{1}{2}(q_1V_1+q_2V_2)

    其中V1V_1为q2q_2在q1q_1处产生的电势，V2V_2在q1q_1在q2q_2处产生的电势

  • n个点电荷系统的静电相互作用能（互能）

    We=12∑i=1nqiViW_e=\dfrac{1}{2}\sum_{i=1}^n q_iV_i

    其中ViV_i为除qiq_i以外的电荷对qiq_i处产生的电势

  • 连续带电体的静电能

    We=12∫QVdqW_e=\dfrac{1}{2}\int_{Q} Vdq

    其中VV为所有电荷在dqdq处产生的电势

    • 立体带电体

      We=12∭τV(ρdτ)W_e=\dfrac{1}{2} \iiint_{\tau} V(\rho d \tau)

    • 平面带电体

      We=12∬SV(σdS)W_e=\dfrac{1}{2} \iint_{S} V(\sigma dS)

    • 线状带电体

      We=12∫LV(λdl)W_e=\dfrac{1}{2} \int_{L} V(\lambda dl)

    • 当然，你也可以使用定义计算
      • 计算每次移动dqdq到给定位置做的功
      • 对上述结果积分

自能与互能的概念

对于离散带电体而言，需要辨析一下自能，互能和总能的概念

互能

互能是指点电荷之间相互作用的能量之和，计算方式参见前面

自能

自能指单个连续带电体的总静态能

电荷qiq_i的自能为

Wi=12qiViW_i = \dfrac{1}{2} q_i V_i

其中ViV_i指电荷qiq_i自身在qiq_i所在的位置产生的电势

总能

总能就是总静电能，为自能和互能之和

总能 = 所有自能 + 互能

W总=∑iWi+WeW_{总} = \sum_i W_i + W_{e}

总能直接计算的方法

W总=12∑i=1nqiVi全W_{总}=\dfrac{1}{2}\sum_{i=1}^n q_iV_{i全}

其中Vi全V_{i全}为所有电荷（包括qiq_i自身）对qiq_i处产生的电势

连续带电体的话，电荷元dqdq产生的自能为无穷小量，所以自能=0（不去考虑），静电互相作用能（互能）和静电能（总能）就相等了，没有区分的必要

几个常见模型

考虑几个模型的静电能作为例子

  • 真空中的均匀带电球面
  • 真空中的球形电容器
  • 无限大均匀电介质中的均匀带电金属球
  • 外界两种不同电介质中的均匀带电金属球

带电电容器的静电能

We=12QΔV=12C(ΔV)2=12Q2CW_e=\dfrac{1}{2}Q\Delta V = \dfrac{1}{2} C (\Delta V)^2 = \dfrac{1}{2} \dfrac{Q^2}{C}

请根据实际情况，自行选用最方便的公式进行计算

  • 考虑几个例子
    • 前面提到的几个填充多种介质的电容器静电能
      • 最简单粗暴的方法，你已经知道电容怎么算了，直接套上面的最后一个公式不就解决问题了

静电场的能量

静电场的能量密度

we=12ϵE2=12D⋅Ew_e = \dfrac{1}{2} \epsilon E^2 = \dfrac{1}{2} \boldsymbol{D} \cdot \boldsymbol{E}

空间区域Ω\Omega内总的静电场能量

We=∭ΩwedV=12∭ΩD⋅EdV=12∭ΩϵE2dVW_e = \iiint_{\Omega} w_e dV = \dfrac{1}{2} \iiint_{\Omega} \boldsymbol{D} \cdot \boldsymbol{E} dV = \dfrac{1}{2} \iiint_{\Omega} \epsilon E^2 dV

在球对称情况下计算静电场能量密度，常取dV=4πr2drdV=4 \pi r^2 dr，把以上三重积分变为一元常积分进行计算

12.5 解题方法，技巧及经验

电像法

电像法的基本思路就是用导体内部某个或者某几个假想电荷产生的电场来代替导体表面感应电荷在空间中产生的电场。

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介质电像法

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