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Chapter13 电流与磁场

Chapter13 电流与磁场

常识补充

向量混合积的对称性

a⃗×b⃗⋅c⃗=b⃗×c⃗⋅a⃗=c⃗×a⃗⋅b⃗\vec{a} \times \vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{b} \times \vec{c} \cdot \vec{a} = \vec{c} \times \vec{a} \cdot \vec{b}

13.1 电流与电源

13.1.1 电流，稳恒电场与电源

两种电流

  1. 传导电流
    • 电子的定向移动，形成电流
    • 在电场力作用下能发生定向运动的带电粒子
      • 金属导体：自由电子
      • 电解质溶液：正、负离子
  2. 运流电流
    • 单个或多个电荷在空间的定向移动（或运动）
    • 由电荷运动等效成的电流模型（做题常用）

电源

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定义

电源是能够提供非静电力的装置。

电源外部

在电源外部：

  • 仅存在静电场，静电场由电源提供
  • 静电力作用使正电荷从电势高的地方向电势低的地方运动。

电源内部

在电源内部：

  • 存在两种力：静电力（方向从正极指向负极）和非静电力（方向从负极指向正极），两者方向相反。
  • 非静电力作用使正电荷从电势低的地方移动到电势高的地方。
  • 非静电力需要克服静电力作用，使正电荷的电势能增高。

电动势

为了表征不同电源将其它形式的能量转化为电能的本领，引入了电动势（记作 E\mathcal{E}）这一物理量。

  • 电动势是标量，但具有方向性。
  • 规定：电动势的正方向为自负极经电源内部指向正极的方向。
  • 注意：电动势与电势差的区别
    • 电动势表征的是非静电力做功，完全取决于电源自身的性质，与外电路无关。
    • 电势差表征的是静电力做功，与外电路的情况有关。
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非静电场和电动势的计算公式

  • 非静电场强度 Ek⃗\vec{E_k}：

    Ek⃗=Fk⃗q\vec{E_k} = \frac{\vec{F_k}}{q}

    其中，Fk⃗\vec{F_k} 为非静电力，qq 为电荷量。

  • 电动势 E\mathcal{E}：
    电动势等于单位正电荷从电源负极沿内电路移动到正极过程中，非静电力所做的功。

    E=∫−+qEk⃗⋅dl⃗q=∫−+Ek⃗⋅dl⃗\mathcal{E} = \frac{\int_{-}^{+} q \vec{E_k} \cdot \mathrm{d}\vec{l}}{q} = \int_{-}^{+} \vec{E_k} \cdot \mathrm{d}\vec{l}

    又由于非静电场仅在电源内部存在，在电源外恒为0，所以电动势也可以写成

    E=∮Ek⃗⋅dl⃗\mathcal{E} = \oint \vec{E_k} \cdot \mathrm{d}\vec{l}

稳恒电场

定义

稳恒电场：由并非静止、只是空间分布保持恒定的电荷产生的电场。

性质

  • 稳恒电场通常伴随电流的存在。
  • 电场中的电势差由电场强度积分得到。
相关公式

  1. 稳恒电场中与静电场类似的部分：

    ∮E⃗⋅dl⃗=0\oint \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{l} = 0

    电势差：

    Va−Vb=∫abE⃗⋅dl⃗V_a - V_b = \int_a^b \vec{E} \cdot \mathrm{d}\vec{l}

  2. 稳恒电场中的非静电场：

    ∮Ek⃗⋅dl⃗≠0\oint \vec{E_k} \cdot \mathrm{d}\vec{l} \neq 0

    电动势：

    E=∮(Ek⃗+E⃗)⋅dl⃗\mathcal{E} = \oint (\vec{E_k} + \vec{E}) \cdot \mathrm{d}\vec{l}

静电场与稳恒电场对比

静电场 稳恒电流的电场
产生电场的电荷始终固定不动 电荷分布不随时间改变，但伴随定向移动
静电平衡时，导体内电场为零，导体是等势体 导体内电场不为零，导体内任意两点不等势
电场有守恒性，是保守场或势场 电场有守恒性，是保守场或势场
维持静电场不需要能量的转化 稳恒电场的存在总伴随能量的转化

13.1.2 电流强度与电流密度矢量

电流强度 II

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  • 大小：单位时间内通过导体某一截面的电量
  • 方向：正电荷运动的方向
  • 若电流强度与时间无关——稳恒电流

I=dqdtI=\dfrac{dq}{dt}

载流导体中任一点的电流密度矢量 j⃗\vec{j}
大小：单位时间内流过该点所在的、且与该点正电荷定向移动方向垂直的单位面积截面的电量。

∣j⃗∣=dqdtdS⊥=dIdS⊥\left| \vec{j} \right| = \dfrac{dq}{dtdS_⊥} = \dfrac{dI}{dS_⊥}

方向：该点正电荷定向移动的方向

j⃗=dIdS⊥en⃗\vec{j} = \dfrac{dI}{dS_⊥} \vec{e_n}

电流场：导体内每一点都有对应的 j⃗(x,y,z)\vec{j}(x,y,z)

当然，可以对上面的表达式变形，写出电流与电流密度矢量的关系

dI=jdS⊥=j⃗⋅en⃗dS=j⃗⋅dS⃗I=∫SdI=∫Sj⃗⋅dS⃗dI = j dS_{\perp} = \vec{j} \cdot \vec{e_n} dS = \vec{j} \cdot d \vec{S} \\ I = \int_S dI = \int_S \vec{j} \cdot d\vec{S}

13.1.3 电流连续性方程

电流连续性方程

由电荷守恒定律，单位时间内由S流出的净电量应等于S内电量的减少，取一段 dxdx 导线分析，不难得到

j(x+dx) dS−j(x) dS=−ddt(ρ dS dx)j(x+dx)\, dS - j(x) \, dS = - \frac{d}{d t}(\rho \, dS \, dx) \\

从而得到

∂j∂x+∂ρ∂t=0\frac{\partial j}{\partial x} + \frac{\partial \rho}{\partial t} = 0

这个方程就是一维导线中的电荷连续性方程

扩展到三维空间中，就是

∂ρ∂t+∇⋅j⃗=0\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \vec{j} = 0

写成积分形式

ddt∭ρ dV+∭∇⋅j⃗ dV=0\frac{d}{dt} \iiint \rho \, dV + \iiint \nabla \cdot \vec{j} \, dV = 0

再应用高斯定理，可以得到

dqdt+∯j⃗⋅dS⃗=0\frac{dq}{dt} + \oiint \vec{j} \cdot d \vec{S} = 0

Image

故电荷连续性方程的结论

∯Sj⃗⋅dS⃗=−dqS内dt\oiint_{S}\vec{j}\cdot d\vec{S} = -\dfrac{dq_{S内}}{dt}

稳恒电流

导体中各处的电流密度矢量不随时间变化

dqS内dt=0∯Sj⃗⋅dS⃗=0\dfrac{dq_{S内}}{dt} = 0 \quad \oiint_{S}\vec{j}\cdot d\vec{S} = 0

  • 区分概念：均匀电流：导体中各处的电流密度矢量相同

13.1.4 金属导体中的电流密度矢量与载流子的平均漂移速度

金属导体中的电流密度矢量

设每个载流子电量为qq，载流子数密度为nn，平均漂移速度的大小 vdv_d
在时间Δt\Delta t内，柱体元内的自由电子将穿过截面ΔS\Delta S，易得以下结论：

Image

ΔI=q[nvdΔtΔS]Δt=qnvdΔS  ⟹  j=ΔIΔS=nqvd\Delta I = \frac{q[nv_d \Delta t \Delta S]}{\Delta t} = qnv_d\Delta S \\ \implies j=\dfrac{\Delta I}{\Delta S} = nqv_d

写成矢量形式，为

j⃗=nqvd⃗=ρevd⃗\vec{j} = nq\vec{v_d} = \rho_e\vec{v_d}

其中 ρe=nq\rho_e=nq 电荷体密度

  • q>0q > 0，j⃗\vec{j} 与 vd⃗\vec{v_d} 同向
  • q<0q < 0，j⃗\vec{j} 与 vd⃗\vec{v_d} 反向

载流子的平均漂移速度

设载流子的平均漂移速度为 v⃗\vec{v}，v0⃗\vec{v_0} 为载流子不受电场作用，自由移动情况下的漂移速度，tt 为两次碰撞间时间间隔

v⃗=v0⃗+qmE⃗t\vec{v} = \vec{v_0} + \frac{q}{m}\vec{E} t

从平均的角度来说

v⃗max⁡‾=0+qmE⃗τ\overline{\vec{v}_{\max}} = 0 + \frac{q}{m} \vec{E} \tau

其中 τ=t‾\tau = \overline{t} 为两次碰撞间平均时间间隔

平均的漂移速度为

vd⃗≡12v⃗max⁡‾=qE⃗τ2m\vec{v_d} \equiv \frac{1}{2} \overline{\vec{v}_{\max}} = \frac{q\vec{E} \tau}{2m}

13.1.5 欧姆定律

欧姆定律的微分形式

欧姆定律

I=U1−U2RI = \frac{U_1 - U_2}{R}

对于柱形微元

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R=ρdldSR = \rho \frac{dl}{dS}

记 γ=1ρ\gamma = \frac{1}{\rho} 为电导率，在导体内取一个柱形微元进行分析

j dS=dUR=dUdSρ dl  ⟹  j=dUρ dl=Eρ=γEj \, dS = \frac{dU}{R} = \frac{dU dS}{\rho \, dl} \implies j = \frac{dU}{\rho \, dl} = \frac{E}{\rho} = \gamma E

从而得到

j⃗=γE⃗\vec{j} = \gamma \vec{E}

即导体中任意一点的电流密度与该点处的电场强度成正比，两者方向平行

电导率

把上面的结论全部写在一起，得到

j⃗=γE⃗=nqvd⃗=nq2τ2mE⃗\vec{j} = \gamma \vec{E} = nq \vec{v_d} = \dfrac{nq^2\tau}{2m}\vec{E}

从而得到电导率为

γ=nq2τ2m\gamma = \frac{n q^2 \tau}{2m}

总结

j⃗=nq2τ2mE⃗=γE⃗\vec{j} = \dfrac{nq^2\tau}{2m}\vec{E} = \gamma \vec{E}

其中γ=nq2τ2m\gamma = \dfrac{n q^2\tau}{2m}为电导率

求电阻的方法

欧姆定律

电阻 Rab R_{ab} 的计算公式为：

Rab=UabI=∫abE⃗⋅dl⃗∫Sj⃗⋅dS⃗R_{ab} = \frac{U_{ab}}{I} = \frac{\int_{a}^b \vec{E} \cdot d\vec{l}}{\int_{S} \vec{j} \cdot d\vec{S}}

  • 具体来说，一般设一个电流 II ，求出电流密度 j⃗\vec{j} ，再求电压 UabU_{ab} ，再用这个公式就可以算出电阻
  • 电场强度可以由 E⃗=jγ\vec{E} = \frac{j}{\gamma} 求得
按定义

电阻 R R 的定义为：

R=∫dR=∫abρdS=∫badlγSR = \int dR = \int_{a}^{b} \frac{\rho}{dS} = \int_{b}^{a} \frac{dl}{\gamma S}

两种不同电导率导体界面上的电荷

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恒定电流

通过横截面 S S 的电流满足：

−J1S+J2S=0,J1=J2-J_1 S + J_2 S = 0, \quad J_1 = J_2

电场分布

电场的分布为：

γ1E1=γ2E2(γ1>γ2,  E1<E2)\gamma_1 E_1 = \gamma_2 E_2 \quad ( \gamma_1 > \gamma_2, \; E_1 < E_2 )

焦耳定律的微分形式

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焦耳定律基本公式

P=I2RP = I^2 R

热功率密度

热功率密度 ww 的公式为：

w=ΔQdSdlΔt=γE2w = \frac{\Delta Q}{dS dl \Delta t} = \gamma E^2

13.2 磁场及其基本描述量

13.2.1 磁场力：洛伦兹力

运动电荷在磁场中受力：

F⃗=qv⃗×B⃗\vec{F} = q\vec{v} \times \vec{B}

Image

13.3 电流产生的磁场：毕奥-萨伐尔定律

毕奥-萨伐尔定律

取电流元Idl⃗=vd⃗dqI d\vec{l} = \vec{v_d}dq
向量形式

dB⃗=μ04πIdl⃗×r⃗r3d\vec{B} = \dfrac{\mu_0}{4 \pi} \dfrac{Id\vec{l} \times \vec{r}}{r^3}

方向

dB⃗//dl⃗×r⃗d \vec{B} // d\vec{l} \times \vec{r}

大小：标量形式

dB=μ04πIdlsinθr2dB = \dfrac{\mu_0}{4 \pi} \dfrac{Idl sin \theta}{r^2}

任意导线：

B⃗=∫dB⃗=∫μ04πIdl⃗×r⃗r3\vec{B} = \int d\vec{B} = \int \dfrac{\mu_0}{4 \pi} \dfrac{Id\vec{l} \times \vec{r}}{r^3}

载流回路：

B⃗=∮ldB⃗=∮lμ04πIdl⃗×r⃗r3\vec{B} = \oint_{l} d\vec{B} = \oint_{l} \dfrac{\mu_0}{4 \pi} \dfrac{Id\vec{l} \times \vec{r}}{r^3}

电流产生的磁感应强度的计算

解题基本逻辑：

  1. 取电流元Idl⃗I d\vec{l} ，套公式，计算由电流元产生的磁感应强度dB⃗d \vec{B}
  2. 判断dB⃗d \vec{B}的方向，把它进行分解 dB⃗→dBx,dBy,dBzd\vec{B} \to dB_x,dB_y,dB_z
  3. 看一眼对称性，由对称性可以判断一些方向的分量积分以后显然为0，就不必算了
  4. 对剩下的分量分部积分 Bx=∫dBx,By=∫dBy,Bz=∫dBzB_x=\int dB_x,B_y = \int dB_y,B_z = \int dB_z

一些技巧：

  • 对整体也善用对称性判断，有些对称性很好的电流，在其对称中心产生的B⃗\vec{B}显然为0，例如

    • 下面这个正方体电路在其中心产生的磁感应强度
    image-20231229203948006

    • 无限长均匀圆柱面在其对称轴上产生的磁感应强度

      image-20231229211026530

常见的电流产生的磁感应强度的模型

注：下面的磁感应强度都没指出方向，用的时候记得自己看一下方向！

  • 直线段电流产生的磁场（模型如图所示，所计算点与直线距离为aa，起终点r⃗\vec{r}与电流方向夹角分别为θ1\theta_1，θ2\theta_2）：

    image-20231229182115571

    B=μ0I4πa(cosθ1−cosθ2)B= \dfrac{\mu_0 I}{4\pi a}(cos \theta_1 - cos\theta_2)

  • 特别地，无限长直线电流产生的磁场（所计算点与直线距离为aa）：

    B=μ0I2πaB = \dfrac{\mu_0 I}{2 \pi a}

  • 显然，半无限长直线：

    B=μ0I4πaB = \dfrac{\mu_0 I}{4 \pi a}

  • 宽度为 aa 的无限长平面，单位宽度电流为α=Ia\alpha = \frac{I}{a}，求平面上方任一点（与平面距离yy）的磁感应强度

    image-20250110150922449

    B=μ0απarctana2y=μ0Iπaarctana2yB = \dfrac{\mu_0 \alpha}{\pi} arctan \dfrac{a}{2y} = \dfrac{\mu_0 I}{\pi a} arctan \dfrac{a}{2y}

    • 特别地（上式取a→∞a \to \infty），无限大均匀平面电流（电流线密度为α\alpha）：

    B=μ0α2B = \dfrac{\mu_0 \alpha}{2}

    • 当y<<ay << a时，也可以近似

      B=μ0I2aB = \frac{\mu_0 I}{2a}

  • 无限长均匀圆柱面电流的磁场（设与中轴距离为rr）（用这个算起来贼烦，记一下结论吧）：

    B={ 0r<R μ0I2πrr>RB = \begin{cases} \ 0 & r<R \\ \ \dfrac{\mu_0 I}{2 \pi r} & r>R \\ \end{cases}

  • 圆电流轴线上的磁场分布

    B=μ0IR22(R2+z2)32B = \dfrac{\mu_0 I R^2}{2(R^2+z^2)^{\frac{3}{2}}}

    image-20231229214825519

    特别地，当z=0z = 0时，圆环中心磁感应强度

    B=μ0I2RB = \dfrac{\mu_0I}{2R}

    特别地，当r>>Rr >> R时，有

    B≈μ0IR22z3B \approx \frac{\mu_0 I R^2}{2z^3}

  • 圆弧电流在圆心处产生的磁感应强度

    B=μ04πILR2=μ04πIθRB = \dfrac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{IL}{R^2} = \dfrac{\mu_0}{4\pi}\dfrac{I\theta}{R}

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  • 密绕螺线管轴线上的磁感应强度（其中nn为螺线管单位长度匝数）

    B=μ0nI2(cosβ2−cosβ1)B = \dfrac{\mu_0nI}{2}(cos\beta_2-cos\beta_1)

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  • 特别地，无限长螺线管

    B=μ0nIB = \mu_0 nI

  • 半无限长螺线管

    B=μ0nI2B = \dfrac{\mu_0 nI}{2}

13.4 磁场的基本规律

磁通量

dΦm=BdS⊥=BdScosθ=B⃗⋅dS⃗Φm=∫dΦm=∫SBcos⁡θ dS=∫SB⃗⋅dS⃗(=∬SB⃗⋅dS⃗)d \Phi_m = BdS_{⊥} = BdScos\theta = \vec{B} \cdot d\vec{S} \\ \Phi_m = \int d \Phi_m = \int_{S} B \cos \theta \, dS = \int_{S} \vec{B} \cdot d\vec{S} (= \iint_S \vec{B} \cdot d\vec{S})

方向：（右手螺旋定则）用于计算磁通量Φm\Phi_m的闭合回路的法线方向（即 dS⃗d\vec{S} 的方向）取为与回路电流绕向成右手螺旋关系

常用磁通量模型

  • 载流长直导线的电流为II，则通过如图矩形的磁通量为

    Φm=∫d1d2μ0Il2πxdx=μ0Il2πln⁡d2d1\Phi_m = \int_{d_1}^{d_2} \dfrac{\mu_0 I l}{2\pi x} dx = \dfrac{\mu_0 I l}{2\pi} \ln \dfrac{d_2}{d_1}

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磁高斯定理

对于稳恒磁场来说，

∯SB⃗⋅dS⃗=0\oiint_{S}\vec{B} \cdot d\vec{S} = 0

原因：稳恒磁场为无源有旋场

  • 无源：自然界中无磁单极子

安培环路定理

对于稳恒电流产生的磁场来说，

∮LB⃗⋅dl⃗=μ0∑i(L内)Ii\oint_{L} \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 \sum_{i\text{(L内)}} I_i

  • 上述结论说明，稳恒磁场为无源有旋场

注意：

  1. 用右手螺旋定则确定回路包围电流的正负：

    1. 如果穿过回路的电流与回路绕向成右旋（右手螺旋定则）关系，规定电流强度为正；反之为负
    2. 也就是说，满足右手螺旋为正，不满足右手螺旋为负

  2. 安培环路定理表达式中的磁感应强度BB是闭合曲线内外所有电流产生的磁感应强度

  3. 安培环路定理表达式中的电流强度∑Ii\sum I_i是指闭合曲线所包围并穿过的电流强度，不包括闭合曲线以外的电流

安培环路定理的应用

基本逻辑：

  1. 分析磁场的对称性
  2. 根据磁场的对称性，选取安培环路
    • 安培环路要经过所求场点
    • 安培环路应选取规则形状，其上各B的量值恒定或为零。
    • 安培环路一般为同心圆周和矩形。
  3. 用右手螺旋定则确定所选定的回路包围电流的正负，求出∑(L内)Ii\sum_{(L内)} I_i
  4. 由安培环路定理求解磁感应强度,并说明方向。
  5. 其他技巧：灵活应用叠加原理和**“补偿法”**，目的是：构造或者恢复对称性，才能进行计算

重要的思想：等效电流

如果需要分析的问题涉及运动/转动的电荷产生的磁场，可以找一个合适的横截面，用dI=dqtdI = \dfrac{dq}{t}将运动/转动的电荷等效为电流进行计算

几个安培环路定理的模型

  • 无限长螺线管：内部磁场处处相等（B=μ0nIB=\mu_0nI），外部磁场为零

    image-20250110154239139 image-20240104142203797

  • 载流螺绕环：电流II，导线总匝数NN、内径R1R_1、外径R2R2

    B=μ0NI2πr(R1<r<R2)B = \dfrac{\mu_0NI}{2\pi r} \quad (R_1<r<R_2)

    image-20240104142940481

  • 无限长直流导线：常识，前面算过了，用安培环路定理更方便

    B=μ0I2πrB = \dfrac{\mu_0I}{2\pi r}

  • 无限长均匀圆柱面电流的磁场（设与中轴距离为rr）（用安培环路定理算起来很快）

    B={ 0r<R μ0I2πrr>RB = \begin{cases} \ 0 & r<R \\ \ \dfrac{\mu_0 I}{2 \pi r} & r>R \\ \end{cases}

  • 无限长均匀圆柱电流

    image-20250110153709003 image-20250110153727570

    B={ μ0Ir2πR20<r<R μ0I2πrr≥RB = \begin{cases} \ \dfrac{\mu_0 I r}{2\pi R^2} & 0<r<R \\ \ \dfrac{\mu_0 I}{2 \pi r} & r \geq R \\ \end{cases}

    • 无限长均匀通电圆柱体（圆柱电流）内部的磁感应强度（表示成和电流密度 j⃗\vec{j} 相关的矢量形式）

    B⃗=μ02j⃗×r⃗,0<r<R\vec{B} = \dfrac{\mu_0}{2}\vec{j} \times \vec{r}, \quad0<r<R

  • 无限长均匀同轴电缆（内部导体圆柱电流II，外部导体壳电流−I-I）

    B={ μ0Ir2πR12r<R1 μ0I2πrR1≤r<R2 μ0I2πrR32−r2R32−R22R2≤r<R3 0r≥R3B = \begin{cases} \ \dfrac{\mu_0 I r}{2\pi R_1^2} & r<R_1 \\ \ \dfrac{\mu_0 I}{2 \pi r} & R_1 \leq r<R_2 \\ \ \dfrac{\mu_0 I}{2 \pi r} \dfrac{R_3^2-r^2}{R_3^2-R_2^2} & R_2 \leq r < R_3 \\ \ 0 & r \geq R_3 \end{cases}

    image-20240104144202500

  • 无限大均匀平面电流（电流线密度为α\alpha）：

    B=μ0α2B = \dfrac{\mu_0 \alpha}{2}

    image-20240104204433739

13.5 磁场对电流的作用

相关题目

  1. 计算安培力
  2. 计算磁力矩
  3. 计算安培力做功

磁场力公式

一个电荷受力（洛伦兹力）：

F=qv⃗×B⃗F = q \vec{v} \times \vec{B}

电流元受力（安培力）：

dF⃗=dqvd⃗×B⃗=Idl⃗×B⃗d \vec{F} = dq \vec{v_d} \times \vec{B} = I d\vec{l} \times \vec{B}

安培力公式：

F⃗=∫ldF⃗=∫l(Idl⃗×B⃗)\vec{F} = \int_{l} d\vec{F} = \int_{l} (I d\vec{l} \times \vec{B})

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注意：

  1. 安培力乃大量自由电子洛伦兹力之和
  2. 该定理涉及右手螺旋法则，方向如图
  3. 计算时候善用对称性，可以少算一两个方向

对于匀强磁场中电流恒定（匀强磁场中的载流导线）情况，可以这样看安培力公式：

F⃗=∫l(Idl⃗×B⃗)=I(∫ldl⃗)×B⃗\vec{F} = \int_{l} (I d\vec{l} \times \vec{B}) = I (\int_{l} d\vec{l}) \times \vec{B}

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故有结论：任意平面载流导线在均匀磁场中所受的力，与其始点和终点相同的载流直导线所受的磁场力相同。

几个安培力的模型

  1. 两平行长直载流导线间的安培力

    dF1dl1=dF2dl2=μ0I1I22πa\dfrac{dF_1}{dl_1} = \dfrac{dF_2}{dl_2} = \dfrac{\mu_0 I_1 I_2}{2 \pi a}

    image-20240104211540792

载流线圈在磁场中受到的力矩

载流线圈在匀强磁场中受到的磁力矩

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垂直的两边受力分别为

F1=F2=BIl2F3=F4=BIl1F_1 = F_2 = BIl_2 \quad F_3 = F_4 = BIl_1

不难发现，线圈受力情况为：合力为零 ∑F=0\sum F = 0，F1,F2F_1,F_2 构成一对力偶矩，合力矩不为零

线圈所受磁力矩大小为

M=F1l1cosθ=BIl2⋅l1cos⁡θ=BIl1l2sinφ=BISsinφM = F_1l_1 cos \theta = BIl_2 \cdot l_1 \cos \theta = BIl_1l_2sin\varphi = BIS sin\varphi

磁力矩与磁矩

引入磁矩的概念（方向如图，遵循右手螺旋定则）

m⃗=ISen⃗\vec{m} = IS \vec{e_n}

则磁力矩可以写成

M⃗=men⃗×B⃗=m⃗×B⃗\vec{M} = m \vec{e_n} \times \vec{B} = \vec{m} \times \vec{B}

image-20240104214159132 image-20240104214312655

磁矩的定义

若平面线圈有N匝，则线圈所受磁力矩为

M⃗=NBISsin⁡φ=mBsin⁡φ\vec{M} = NBIS \sin \varphi = mB \sin \varphi

故定义磁矩为

m=NISm⃗=NISen⃗m = NIS \quad \vec{m} = NIS \vec{e_n}

en⃗\vec{e_n}与电流绕向遵循右手螺旋定则

从而N匝螺线管的磁力矩也可以写成

M⃗=men⃗×B⃗=m⃗×B⃗\vec{M} = m \vec{e_n} \times \vec{B} = \vec{m} \times \vec{B}

匀强磁场中任意形状平面载流线圈

image-20250110171529623

对于闭合线圈，仍然有

F⃗=∮lIdl⃗×B⃗=I∮ldl⃗×B⃗=0\vec{F} = \oint_{l} I d\vec{l} \times \vec{B} = I \oint_{l} d\vec{l} \times \vec{B} = 0

取小面元进行分析，可以算出该面元的磁力矩和磁矩

dM⃗=dm⃗×B⃗dm⃗=IdSen⃗d\vec{M} = d\vec{m} \times \vec{B} \quad d\vec{m} = IdS \vec{e_n}

总力矩为

M⃗=∫dM⃗=(∫dm⃗)×B⃗=ISen⃗×B=m⃗×B⃗\vec{M} = \int d\vec{M} = (\int d\vec{m}) \times \vec{B} = IS \vec{e_n} \times {B} = \vec{m} \times \vec{B}

因为前面定义磁矩的时候已经考虑线圈匝数N，这个结论也适用于匀强磁场中任意形状N匝平面载流线圈

各种磁矩计算方法

圆盘状分布电流的磁力计算

考虑r∼r+drr \sim r+dr的圆环的磁矩dm⃗d\vec{m}

dm⃗=SdIen⃗m⃗=∫dm⃗=∫SdIen⃗d\vec{m} = S dI \vec{e_n} \quad \vec{m} = \int d\vec{m} = \int SdI \vec{e_n}

N匝圆盘形密绕线圈的磁力计算

考虑r∼r+drr \sim r+dr部分的线圈的磁矩dmdm

dm=IS dNdN=NR2−R1drm=∫dm=I∫S dNdm = IS \, dN \quad dN = \dfrac{N}{R_2 - R_1} dr \\ \quad m = \int dm = I \int S \, dN

磁力做功

  1. 运动的载流导线（安培力做功）

    A=FΔx=BlΔx=IΔΦm=I(Φmf−Φmi)A = F \Delta x = Bl \Delta x = I \Delta \Phi_m = I (\Phi_{mf}- \Phi_{mi})

    image-20240104220152575

    其中Φm\Phi_m指扫过的面积的磁通量的增量

  2. 转动的载流线圈

    image-20241116153039174

    dA=−Mdφ=−BISsin⁡φdφ=Id(BScos⁡φ)=IdΦmA=−∫φ1φ2Mdφ=−∫φ1φ2BISsin⁡φdφ=∫ΦmiΦmfIdΦm=IΔΦm=I(Φmf−Φmi)dA = -Md\varphi = -BIS \sin \varphi d \varphi = Id(BS\cos \varphi) = I d\Phi_m \\ A = - \int_{\varphi_1}^{\varphi_2} Md\varphi = - \int_{\varphi_1}^{\varphi_2} BIS \sin \varphi d \varphi = \int_{\Phi_{mi}}^{\Phi_{mf}} I d\Phi_m \\ = I \Delta \Phi_m = I (\Phi_{mf}- \Phi_{mi})

    P.S. 始末状态磁通量Φm\Phi_m（尤其要注意方向）的计算，参见前面讲过的磁通量计算部分

  3. 非均匀磁场情形

    image-20250110173124202

    假设电流元发生位移dr⃗d\vec{r}，安培力做功为

    dA=Idl⃗×B⃗⋅dr⃗=Idr⃗×dl⃗⋅B⃗=IdS⃗⋅B⃗dA = I d\vec{l} \times \vec{B} \cdot d\vec{r} = I d\vec{r} \times d\vec{l} \cdot \vec{B} = I d\vec{S} \cdot \vec{B}

    其中dS⃗d\vec{S}表示电流元扫过的面积微元

    故电流元发生微小位移dr⃗d\vec{r}时安培力做的功

    dA=∫IdS⃗⋅B⃗=I∫dS⃗⋅B⃗=IdΦdA = \int Id\vec{S} \cdot \vec{B} = I \int d \vec{S} \cdot \vec{B} = I d\Phi

    即做功与扫过的面积上的磁通量有关

磁矩在均匀外磁场中的能量

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在均匀外磁场中，在回路电流保持不变的情况下，安培力对回路电流做功仅与最初和最末位置磁通的变化有关，而与过程无关

考虑转过角度dθd \theta时能量的变化量

image-20241116163317898

dU=−M⃗⋅dθ⃗=−m⃗×B⃗⋅dθ⃗=−dθ⃗×m⃗⋅B⃗=−dm⃗⋅B⃗dU = - \vec{M} \cdot d\vec{\theta} = - \vec{m} \times \vec{B} \cdot d\vec{\theta} = - d\vec{\theta} \times \vec{m} \cdot \vec{B} = - d \vec{m} \cdot \vec{B}

故可以将载流线圈在外磁场中的能量定义为

U=−m⃗⋅B⃗=−mBcosφU = -\vec{m} \cdot \vec{B} = -mBcos\varphi

N匝时，有（这里假设m为单匝线圈的m，如果按照前面直接算了多匝线圈的m，这里就不需要倍数N了）

U=−Nm⃗⋅B⃗=−NmBcosφU = -N \vec{m} \cdot \vec{B} = -NmBcos\varphi

可以利用该式可以计算磁矩受到的力，但它不是实际的能量：考虑磁矩和螺线管所组成的系统的磁能时，从无穷远将磁矩放到场点，保证螺线管和磁矩电流不变的情况下

Utotal=m⃗⋅B⃗U_{\text{total}} = \vec{m} \cdot \vec{B}

13.6 带电粒子的运动与磁场

运动带电粒子的磁场

dB⃗=μ04πIdl⃗×r⃗r3=μ04πqnSv⃗ dl×r⃗r3d\vec{B} = \dfrac{\mu_0}{4 \pi} \dfrac{Id\vec{l} \times \vec{r}}{r^3} = \dfrac{\mu_0}{4 \pi} \dfrac{qnS \vec{v}\, dl \times \vec{r}}{r^3}

载流子数量 dN=nS dldN = nS \, dl ，那么一个载流子产生的磁场为

B⃗=μ04πqv⃗×r⃗r3\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{q\vec{v} \times \vec{r}}{r^3}

如果有一块能看作点电荷的电荷元 dq=qnS dldq = qnS \, dl，那么这块电荷元产生的磁场为

B⃗=μ04πv⃗×r⃗r3 dq\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{\vec{v} \times \vec{r}}{r^3} \, dq

可以通过积分计算磁场

B⃗=∫μ04πv⃗×r⃗r3dq\vec{B} = \int \dfrac{\mu_0}{4 \pi} \dfrac{\vec{v} \times \vec{r}}{r^3} dq

如果是圆环情况，建议等效成电流用安培环路定理，计算简单很多

运动电荷的磁场与电场

磁场

B⃗=μ04πqv⃗×r⃗r3\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{q \vec{v} \times \vec{r}}{r^3}

电场：在 v≪cv \ll c 时，真空中场点的电场为：

E⃗=qr⃗4πε0r3\vec{E} = \frac{q \vec{r}}{4\pi \varepsilon_0 r^3}

由此可得：

B⃗=μ0ε0v⃗×E⃗\vec{B} = \mu_0 \varepsilon_0 \vec{v} \times \vec{E}

运动电荷产生磁场与电场是紧密联系的，即：磁场是电场的相对论效应。

带电粒子在匀强磁场中的运动

  1. v⃗//B⃗\vec{v} // \vec{B}

    显而易见F=0F = 0，没啥好说的，粒子匀速直线运动

  2. v⃗⊥B⃗\vec{v} ⊥ \vec{B}

    粒子做匀速圆周运动，容易列出以下式子

    F=qvB=mv2RF = qvB = \frac{mv^2}{R}

    image-20240104224913002

    从而得到以下结论：

    • 粒子的运动半径（Larmor半径）为

    R=mvqBR = \dfrac{mv}{qB}

    • 运动周期T为

    T=2πRv=2πmqBT = \dfrac{2\pi R}{v} = \dfrac{2 \pi m}{qB}

  3. v⃗\vec{v}与B⃗\vec{B}成θ\theta角

    这种情况下，粒子在平行于磁场方向不受力

    在垂直于磁场方向作匀速圆周运动

    可以求出半径和运动周期

    R=mv⊥qB=mvsinθqBT=2πmqBR = \dfrac{mv_{⊥}}{qB} = \dfrac{mvsin\theta}{qB} \\ T = \dfrac{2 \pi m}{qB}

    合成以后是个螺旋线运动，螺距

    h=v∥T=2πmvcosθqBh = v_{∥}T = \dfrac{2 \pi mv cos \theta}{qB}

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带电粒子在非匀强磁场中的运动

磁约束：带电粒子在非均匀磁场中的运动

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磁镜：带电粒子在非均匀磁场中的运动

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粒子在强磁场区受到指向弱磁场方向的力，向弱磁场方向运动——“反射”到中央，被约束在两镜之间

霍尔效应

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如果磁场方向与电流方向垂直，则在与磁场B和电流I两者垂直的方向上出现横向电势差，这一现象称为霍尔效应。这个电势差称为霍尔电势差。

霍尔电势差大小计算

下面推导一下霍尔电势差大小：

Fm⃗+Fe⃗=0  ⟹  qvdB=qE  ⟹  Vm−Vn=Eb=Bvdb且I=nqvdbd  ⟹  vd=Inqbd  ⟹  ΔVH=Vm−Vn=1nqBIdset Rh=1nq  ⟹  ΔVH=RhBId\vec{F_m} + \vec{F_e} = 0 \implies qv_dB = qE \implies V_m- V_n = Eb = Bv_db \\ 且 I = n q v_d bd \implies v_d = \dfrac{I}{nqbd} \\ \implies \Delta V_H = V_m - V_n = \dfrac{1}{nq} \dfrac{BI}{d} \\ \text{set} \thinspace R_h = \dfrac{1}{nq} \implies \Delta V_H = R_h \dfrac{BI}{d}

记一下结论：

ΔVH=1nqBId=RHBId(set RH=1nq)\Delta V_H = \dfrac{1}{nq} \dfrac{BI}{d} = R_H \dfrac{BI}{d} (set \thinspace R_H = \dfrac{1}{nq})

霍尔电势差方向判断

和上面的计算思路很类似

  1. 判断载流子所受洛伦兹力方向
  2. 由于载流子所受电场力要与洛伦兹力抵消，霍尔电场对载流子的电场力和洛伦兹力反向
  3. 由霍尔电场对载流子的电场力方向，可知霍尔电场强度方向
  4. 有霍尔电场强度方向之后，就可以得到霍尔电势差的方向（沿电场强度方向，电势降低）

注意：一般来说，导体的载流子默认是电子，带负电！！！

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