Rookie's blog

Chapter14 磁场与物质的相互作用

Chapter14 磁场与物质的相互作用

image-20240106125707275

a7823780b44add07f008a75d6d7bf409

磁介质对磁场的影响

磁介质

磁介质：凡处于磁场中能与磁场发生相互作用的实物物质均可称为磁介质。

image-20250110210858979

  • 与磁场发生相互作用强的磁介质主要是铁磁物质。
  • 与磁场发生相互作用弱的磁介质又可分为顺磁质和抗磁质。
  • 在非均匀磁场中，被吸引至磁场较强区域的磁性物质称为顺磁质（如
    钠，铝，锰，铬，硫酸铜，氧及空气等）；
  • 被斥离磁场较强区域的磁性物质称为抗磁质（如铜，铅，铋，银，水
    及氮等）。

分子电流、分子磁矩

在一个原子或分子中，电子既作轨道运动，又作自旋运动，可用一个等效的环电流来表征，称为“分子电流”，相应的磁矩称为“分子磁矩”。

  • 抗磁质分子：

    • 分子没有固有的磁矩
    • 在没有外磁场时：宏观上不显示磁性

  • 顺磁质分子：

    • 分子有固有的磁矩
    • 但由于各分子磁矩取向杂乱无章，所以 ∑μ⃗m=0\sum \vec{\mu}_m= 0
    • 在没有外磁场时：宏观上也不显示磁性

顺磁质的磁化

image-20250110214715769

分子的固有磁矩不为零 μ⃗m≠0\vec{\mu}_m \neq 0

  • 有外磁场时，分子磁矩要受到一个力矩的，使分子磁矩转向外磁场的方向。
  • 分子磁矩产生的磁场方向和外磁场方向一致，顺磁质磁化结果，使介
    质内部磁场增强。

B>B0B > B_0

image-20250110214730012

抗磁质的磁化

分子的固有磁矩为零 μ⃗m=0\vec{\mu}_m = 0

  • 电子绕核的轨道运动电子本身自旋 μm\mu_m

  • 在外磁场中，抗磁质分子会产生附加磁矩 Δμ⃗m\Delta \vec{\mu}_m ，这个附加磁矩总与外磁场方向反向

  • 电子的附加磁矩总是削弱外磁场的作用

故有

B<B0B < B_0

磁化强度和磁化电流

磁化强度

对于磁介质，可以不涉及磁化的微观过程，引入一个宏观物理量来描述介质磁化的程度。

  • 对于体积 ΔV\Delta V，宏观上 ΔV\Delta V 很小，但微观上包含大量磁矩 μi\mu_i。

磁化强度定义

磁化强度：

M=∑iμiΔV\mathbf{M} = \frac{\sum_i \mathbf{\mu}_i}{\Delta V}

磁化强度的 SI 单位：

Am\frac{\text{A}}{\text{m}}

顺磁质与抗磁质

  • 顺磁质：M∥B\mathbf{M} \parallel \mathbf{B}
  • 抗磁质：M∥−B\mathbf{M} \parallel -\mathbf{B}

磁化电流

考察各向同性、线性、均匀的磁介质

image-20250110222610414

总效果 ：在磁介质表面形成磁化电流。

image-20250110222601606

想象从磁介质表面抽出一个小的斜柱体

image-20250111115145985

通过对斜柱体中的磁场和相关变量进行描述：

  1. 斜柱体总磁矩：

    ∑iμi=ΔSdI′\sum_i \mu_i = \Delta S dI'

  2. 根据定义：

    M=∑iμiΔV=ΔSdI′ΔSdlcos⁡θM = \frac{\sum_i \mu_i}{\Delta V} = \frac{\Delta S dI'}{\Delta S d l \cos \theta}

关系式与计算

  1. 单位长度微小段的表达式：

    α′=dI′dl=Mcos⁡θ=Msin⁡φ\alpha' = \frac{dI'}{dl} = M \cos \theta = M \sin \varphi

  2. 关系式：

    α′=M⃗×e^n\alpha' = \vec{M} \times \hat{e}_n

  3. 另一种形式：

    dI′=Mdlcos⁡θ=M⃗⋅dl⃗dI' = M dl \cos \theta = \vec{M} \cdot d\vec{l}

    或者

    dI′=α′dl=∣M⃗×e^n∣dldI' = \alpha' dl = |\vec{M} \times \hat{e}_n| dl

介质与边界条件

image-20250111115324483

  1. 磁介质与真空边界：

    α′⃗=M⃗×e^n\vec{\alpha'} = \vec{M} \times \hat{e}_n

    其中，e^n\hat{e}_n为单位向量。

  2. 磁介质与磁介质交界处磁场的分布：

    α1′=M1⃗×e^n1,α2′=M2⃗×e^n2\alpha'_1 = \vec{M_1} \times \hat{e}_{n1}, \quad \alpha'_2 = \vec{M_2} \times \hat{e}_{n2}

    这里，e^n1=−e^n2\hat{e}_{n1} = -\hat{e}_{n2}。

  3. 总磁化电流表达式表达式：

    α′=α1′+α2′=(M1⃗−M2⃗)×e^n1\alpha' = \alpha'_1 + \alpha'_2 = (\vec{M_1} - \vec{M_2}) \times \hat{e}_{n1}

  4. 介质表面磁化电流表达式：

    α′⃗=(M1⃗−M2⃗)×e^n\vec{\alpha'} = (\vec{M_1} - \vec{M_2}) \times \hat{e}_n

总结

根据以上公式和关系式，描述了磁场、磁矩及相关物理量在不同磁介质中的分布及变化。

§ 13-3 介质中的磁场与磁场强度

介质中磁场的高斯定理

磁场的总磁通量可以分为外部磁场和由电流引起的磁场：

B⃗=B0⃗+B′⃗\vec{B} = \vec{B_0} + \vec{B'}

  • B0⃗\vec{B_0}：外磁场
  • B′⃗\vec{B'}：磁化电流产生的磁场

磁场线为闭合曲线，因此有以下关系：

∮SB⃗⋅dS⃗=∮S(B0⃗+B′⃗)⋅dS⃗=∮SB0⃗⋅dS⃗+∮SB′⃗⋅dS⃗\oint_S \vec{B} \cdot d\vec{S} = \oint_S (\vec{B_0} + \vec{B'}) \cdot d\vec{S} = \oint_S \vec{B_0} \cdot d\vec{S} + \oint_S \vec{B'} \cdot d\vec{S}

根据高斯定理，有外磁场的积分为零：

∮SB0⃗⋅dS⃗=0\oint_S \vec{B_0} \cdot d\vec{S} = 0

同时，磁化电流产生的磁场也满足：

∮SB′⃗⋅dS⃗=0\oint_S \vec{B'} \cdot d\vec{S} = 0

介质中的边界条件

  1. 磁介质1 和 磁介质2 的界面上的磁场关系：

    • 介质1与介质2的界面法向磁场分量相等：

      B1n=B2nB_{1n} = B_{2n}

  2. 磁场分量：

    • 由界面两侧的磁场分量 B1⃗\vec{B_1} 和 B2⃗\vec{B_2} 表示，它们在界面法线方向上的分量必须相等。

磁场强度和介质中磁场的安培环路定理

  1. 安培环路定理公式，其中 IiI_i 为传导电流，Ii′I'_i 为磁化电流

    ∮LB⃗⋅dl⃗=μ0(∑iIi+∑iIi′)\oint_L \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 \left( \sum_i I_i + \sum_i I_i' \right)

  2. 总电流：
    设分子液度为 nn，则套住 dldl 的分子电流为：

    dI′=niϕ⋅(Sϕ⋅cos⁡θ⋅dl)=M⋅dl⋅cos⁡θ=M⃗⋅dl⃗dI' = n i_{\phi} \cdot (S_{\phi} \cdot \cos \theta \cdot dl) = M \cdot dl \cdot \cos \theta = \vec{M} \cdot d\vec{l}

  3. 通过L所围曲面 ΔS\Delta S 的磁化电流：

    I′=∮LM⃗⋅dl⃗I' = \oint_L \vec{M} \cdot d\vec{l}

磁场强度与安培环路定理

  1. 高斯定理与安培环路定理的表达式：

    ∮LB⃗⋅dl⃗=μ0(∑iIi+∮LM⃗⋅dl⃗)\oint_L \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 \left( \sum_i I_i + \oint_L \vec{M} \cdot d\vec{l} \right)

  2. 磁场强度 H 的表达式：

    ∮L(B⃗μ0−M⃗)⋅dl⃗=∑iIi\oint_L \left( \frac{\vec{B}}{\mu_0} - \vec{M} \right) \cdot d\vec{l} = \sum_i I_i

    H⃗=B⃗μ0−M⃗\vec{H} = \frac{\vec{B}}{\mu_0} - \vec{M}

  3. 有磁介质时的安培环路定理： 其中 IiI_i 为传导电流

    ∮LH⃗⋅dl⃗=∑iIi\oint_L \vec{H} \cdot d\vec{l} = \sum_i I_i

磁场强度的相关定义与公式

  1. 磁场强度的定义：

    H⃗=B⃗μ0−M⃗\vec{H} = \frac{\vec{B}}{\mu_0} - \vec{M}

    • 其中 μ0\mu_0 为 真空磁导率（Permeability of vacuum）

  2. 磁化率（Magnetic susceptibility）χm\chi_m：

    M⃗=χmH⃗\vec{M} = \chi_m \vec{H}

  3. 磁感应强度（Magnetic flux density）B⃗\vec{B}：

    B⃗=μ0H⃗+μ0M⃗=μ0(1+χm)H⃗=μ0μrH⃗=μH⃗\vec{B} = \mu_0 \vec{H} + \mu_0 \vec{M} = \mu_0 (1 + \chi_m) \vec{H} = \mu_0 \mu_r \vec{H} = \mu \vec{H}

  4. 相对磁导率（Relative permeability）：

    μr=1+χm\mu_r = 1 + \chi_m

  5. 磁导率（Permeability）μ\mu：

    B⃗=μH⃗\vec{B} = \mu \vec{H}

磁介质的分类

  1. 顺磁质（μr>1 \mu_r > 1 ）
    B′⃗\vec{B'} 与 H⃗\vec{H} 同方向，B>Hμ0 B > H \mu_0
    示例：O2,Al,Mn O_2, Al, Mn

  2. 抗磁质（μr<1 \mu_r < 1 ）
    B′⃗\vec{B'} 与 H⃗\vec{H} 反方向，B<μ0H B < \mu_0 H
    示例：H2,Cu,Pb H_2, Cu, Pb

  3. 铁磁质（μr≫1 \mu_r \gg 1 ）
    B′⃗\vec{B'} 很大与 H⃗\vec{H} 同方向
    示例：Fe,Ni,Co Fe, Ni, Co

  4. 超导材料（μr=0 \mu_r = 0 ）
    B⃗=0\vec{B} = 0，完全抗磁性

边界条件（完整版）

利用磁高斯定理和安培环路定理可以证明：在不同介质交界面两侧的磁场满足以下边界条件：

  1. 法向磁场分量相等：

    B1n=B2nB_{1n} = B_{2n}

  2. 切向磁场分量相等：

    H1t=H2tH_{1t} = H_{2t}

例题

image-20250111124410019

一沿棒长方向均匀磁化的圆柱形介质棒（顺磁质）

  • 半径为 RR，长度为 ll，其总磁矩的值为 mm。
  • 棒内的磁化强度为 MM，棒的圆柱表面上的面磁化电流密度为 α′\alpha'。
  • 棒内点的磁感应强度为 B0B_0。

圆柱形介质棒内的磁化强度

总磁矩：

M⃗=∑iμi⃗ΔV\vec{M} = \frac{\sum_i \vec{\mu_i}}{\Delta V}

磁化强度公式：

M=mV=mπR2lM = \frac{m}{V} = \frac{m}{\pi R^2 l}

方向与电流方向 II 之间的关系：

M⃗=Me^n\vec{M} = M \hat{e}_n

圆柱形介质棒表面的面磁化电流密度

面磁化电流密度：

α′=dI′dl=M\alpha' = \frac{dI'}{dl} = M

面磁化电流密度的方向与电流方向的关系：

α′=M⃗×e^n\alpha' = \vec{M} \times \hat{e}_n

棒内中点的磁感应强度

应用螺线管内的磁感应强度公式（把单位长度电流/电流线密度从 nInI 替换成 α′\alpha' 就行）：

Bp=μ0α′2[cos⁡β2−cos⁡(π−β2)]B_p = \frac{\mu_0 \alpha'}{2} [\cos \beta_2 - \cos(\pi - \beta_2)]

简化形式：

Bp=μ0α′2[2cos⁡β2]=μ0α′=μ0I21R2+(l2)2B_p = \frac{\mu_0 \alpha'}{2} [2 \cos \beta_2] = \mu_0 \alpha' = \frac{\mu_0 I}{2} \frac{1}{\sqrt{R^2 + \left(\frac{l}{2}\right)^2}}

例题：细长均匀磁化棒，磁化强度 MM，沿棒长方向

image-20250111125723015

已知条件：

  • 沿棒长方向均匀磁化，磁化强度 MM。
  • 长直螺线管，磁化只存在于磁化面电流上，面电流密度 α′=M\alpha' = M。
  • 求图中各点的 HH 和 BB。

解：

均匀磁化，只存在磁化面电流，可以得到

α′=M  ⟹  nI=M\alpha' = M \implies nI = M

磁化棒可以视为长直螺线管的模型，将 nInI 替换为 α′\alpha' ，即可进行计算，求出各点的 BB

  1. 在不同位置的磁感应强度 BB：

    • B1=μ0nI=μ0MB_1 = \mu_0 n I = \mu_0 M
    • B2=B3=0B_2 = B_3 = 0
    • B4=B5=B6=B7=12μ0MB_4 = B_5 = B_6 = B_7 = \frac{1}{2} \mu_0 M

  2. 磁场强度 HH：

    • 再由公式 H⃗=B⃗μ0−M⃗ \vec{H} = \frac{\vec{B}}{\mu_0} - \vec{M} 计算出各点的 HH
    • H1=M−M=0H_1 = M - M = 0
    • H2=H3=0H_2 = H_3 = 0
    • H4=12M−0=12MH_4 = \frac{1}{2} M - 0 = \frac{1}{2} M
    • H5=12M−M=−12MH_5 = \frac{1}{2} M - M = -\frac{1}{2} M
    • H6=−12MH_6 = -\frac{1}{2} M
    • H7=12MH_7 = \frac{1}{2} M

铁磁质

考试不太能考这种东西，跳过

0%