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Chapter 15 电磁感应

Chapter 15 电磁感应

15.1 电磁感应定律

楞次定律

感应电动势产生的感应电流的方向总是使感应电流的磁场通过回路的磁通量阻碍原磁通量的变化。

常识，不多赘述

法拉第电磁感应定律

ϵ=−kdΦmdt\epsilon = -k\dfrac{d\Phi_m}{dt}

国际单位制中，k=1k=1，故可以直接写成

ϵ=−dΦmdt\epsilon = -\dfrac{d\Phi_m}{dt}

注意：

  • 方向判断问题

    • 约定：回路包围的面的方向与回路方向成右手定则。

    • 正负号的含义：感应电动势为正，则与规定的回路方向相同；为负，则其方向与假设方向相反。

    • 负号表示：感应电动势方向与约定回路方向的关系，即感应电动势的符号总是与回路内磁通量随时间变化率的符号相反。

  • 当线圈有NN匝时，可以这样看：

    ϵ=∑iϵi=−ddt(∑i=1nΦm)=−dΨdtΨ=∑i=1nΦm=NΦm(当各匝相同时)\epsilon = \sum_{i} \epsilon_i = - \dfrac{d}{dt}(\sum_{i = 1}^{n} \Phi_m) = - \dfrac{d \Psi}{dt} \\ \Psi = \sum_{i = 1}^{n} \Phi_m = N \Phi_m \quad (当各匝相同时)

  • 可以从该式推导出一些二级结论：

    I=ϵR=−1RdΦdt=dqdt  ⟹  q=∫t1t2Idt=−1R∫Φ1Φ2dΦ=−1R(Φ2−Φ1)=−1RΔΦ多匝情况:q=−1R(Ψ2−Ψ1)=−1RΔΨI = \dfrac{\epsilon }{R} = -\dfrac{1}{R}\dfrac{d \Phi}{dt} = \dfrac{dq}{dt} \\ \implies q = \int_{t_1}^{t_2} Idt = -\dfrac{1}{R} \int_{\Phi_1}^{\Phi_2} d\Phi = -\dfrac{1}{R}(\Phi_2 - \Phi_1) = -\dfrac{1}{R} \Delta \Phi \\ 多匝情况: q = -\dfrac{1}{R}(\Psi_2 - \Psi_1) = -\dfrac{1}{R} \Delta \Psi

感应电动势的方向判断

  1. 首先选定回路L的绕行方向
  2. 按照右手螺旋关系确定出回路的正法线方向
  3. 确定通过回路的磁通量的正负
  4. 确定磁通量的时间变化率的正负
  5. 最后确定感应电动势的正负
    • ϵ<0\epsilon < 0 则ϵ\epsilon与回路 L绕向相反
    • ϵ>0\epsilon > 0 则ϵ\epsilon与回路 L绕向相同

当然，用楞次定律判断也是可以的（更加方便，本质上是一个东西）

解题基本思路

对于求ϵ\epsilon的题目，基本思路：

  1. 确定磁感应强度的来源，根据安培环路定理（或者毕奥·萨伐尔定律）求出B⃗\vec{B}
  2. 找到产生电动势的闭合回路，对上一问求出的B⃗\vec{B}积分，求出通过该闭合回路的磁通量Φm=∬sB⃗⋅dS⃗\Phi_m = \iint_s{\vec{B}\cdot d\vec{S}}
  3. 最后，使用电磁感应定律，求出电动势ϵ=−dΦmdt\epsilon = - \dfrac{d\Phi_m}{dt}

15.2 动生电动势

动生电动势是因为导体自身在磁场中做切割磁感线运动而产生的感应电动势。动生电动势由洛伦兹力产生，可以推出

Ek⃗=F⃗q=v⃗×B⃗  ⟹  ϵ=∫abEk⃗⋅dl⃗=∫ab(v⃗×B⃗)⋅dl⃗\vec{E_k} = \dfrac{\vec{F}}{q} = \vec{v} \times \vec{B} \\ \implies \epsilon = \int_{a}^{b} \vec{E_k} \cdot d\vec{l} = \int_{a}^{b} (\vec{v} \times \vec{B}) \cdot d\vec{l}

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故动生电动势为

ϵ=∫l⃗(v⃗×B⃗)⋅dl⃗\epsilon = \int_{\vec{l}} (\vec{v} \times \vec{B}) \cdot d\vec{l}

微分形式

dϵ=v⃗×B⃗⋅dl⃗d\epsilon = \vec{v} \times \vec{B} \cdot d \vec{l}

注意：

  1. 积分路径l⃗\vec{l}的正方向可任意定。
  2. 电动势“方向”的判断
    • ϵ<0\epsilon < 0 则ϵ\epsilon与积分路径l⃗\vec{l}的正方向相反
    • ϵ>0\epsilon > 0 则ϵ\epsilon与积分路径l⃗\vec{l}的正方向相同

动生电动势能量转化分析

洛伦兹力产生动生电动势，但是洛伦兹力垂直于运动电荷的速度，洛伦兹力本身并不做功！

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载流子所受总的洛伦兹力为

F⃗=q(v⃗+u⃗)×B⃗=qv⃗×B⃗+qu⃗×B⃗=f⃗vL+f⃗uL\vec{F} = q(\vec{v}+\vec{u})\times \vec{B} = q\vec{v} \times \vec{B} + q\vec{u} \times \vec{B} = \vec{f}_{vL} + \vec{f}_{uL}

达到平衡时，洛仑兹力与外力相等

f⃗ext=−f⃗uL\vec{f}_{ext} = - \vec{f}_{uL}

电子所受的总的洛伦兹力与其速度垂直，对电子不作功

F⃗⋅(v⃗+u⃗)=0=f⃗vL⋅u⃗+f⃗uL⋅v⃗  ⟹  f⃗vL⋅u⃗=−f⃗uL⋅v⃗=f⃗ext⋅v⃗\vec{F} \cdot (\vec{v}+\vec{u}) = 0 = \vec{f}_{vL} \cdot \vec{u} + \vec{f}_{uL} \cdot \vec{v}\\ \implies \vec{f}_{vL} \cdot \vec{u} = - \vec{f}_{uL} \cdot \vec{v}= \vec{f}_{ext} \cdot \vec{v}

从这个式子中，我们可以很好地理解动生电动势的能量转化的本质：

  • f⃗ext⋅v⃗\vec{f}_{ext} \cdot \vec{v}：外力做正功输入机械能
  • −f⃗uL⋅v⃗- \vec{f}_{uL} \cdot \vec{v}：洛仑兹力的一个分量做负功吸收它
  • f⃗vL⋅u⃗\vec{f}_{vL} \cdot \vec{u}：洛仑兹力的另一个分量做正功又以电能形式输出这个份额的能量

总结：外力克服洛仑兹力的一个分量做功，通过洛伦兹力的另一个分量转化为感应电流的能量。形象一点说，洛伦兹力本身并不做功，它是一个能量的转化器/搬运工。

动生电动势的具体计算

对于导线回路

方法1：直接积分

ϵ=∮l(v⃗×B⃗)⋅dl⃗\epsilon = \oint_{l} (\vec{v} \times \vec{B}) \cdot d\vec{l}

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方法2：根据电磁感应定律计算

ϵ=−dΦmdt\epsilon = - \dfrac{d \Phi_m}{dt}

对于一般导线

方法1：直接积分

ϵab=∫ab(v⃗×B⃗)⋅dl⃗\epsilon_{ab} = \int_{a}^{b} (\vec{v} \times \vec{B}) \cdot d\vec{l}

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方法2：如果反向计算方便，可以使用补偿法，把导线补全成回路计算，然后减掉另外一部分

ϵab+ϵab′=ϵ=−dΦmdt\epsilon_{ab} + \epsilon_{ab'} = \epsilon = - \dfrac{d \Phi_m}{dt}

注意方向的问题：对于导线来说，感应电动势的方向就是选定的积分方向dl⃗d\vec{l}

而且

  • 感应电动势的方向与感应电流的方向相同

  • 沿感应电流（感应电动势）的方向，导线电势升高（相当于电源内部）

  • 感应电场的方向与导线内部电场的方向相反

  • 用前面两个规则中的一个，都可以判断出ab两点间感应电动势和导线上电势差的符号相反，即

    Vab=−ϵabV_{ab} = - \epsilon_{ab}

解题思路

  1. 建立坐标系，取微元dl⃗d\vec{l}，人为规定dl⃗d\vec{l}正方向
  2. 利用dϵ=(v⃗×B⃗)⋅dl⃗d\epsilon = (\vec{v} \times \vec{B}) \cdot d\vec{l}先计算出微元的电动势dϵd\epsilon
  3. 把dϵd\epsilon积分，得到ϵ\epsilon
  4. 若算得ϵ\epsilon为正值，说明实际电动势的方向就是规定的正方向，若为负值，说明与正方向相反
  5. 注意：微元dl⃗d\vec{l}产生动生电动势的方向为该点v⃗×B⃗\vec{v} \times \vec{B}沿dl⃗d\vec{l}的投影方向。

15.3 感生电动势 感应电场（涡旋电场）

麦克斯韦提出感应电场概念 ：当空间中的磁场发生变化时 ，就在周围空间激起感应电场 ，在导体中产生感生电动势，并形成感应电流 。

再利用法拉第电磁感应定律，可以将感生电动势（感应电场）表示为如下形式（法拉第-麦克斯韦方程）

ϵ=∮lEi⃗⋅dl⃗=−dΦmdt=−ddt∬SB⃗⋅dS⃗=−∬S∂B⃗∂t⋅dS⃗\epsilon = \oint_{l} \vec{E_i} \cdot d\vec{l} = - \dfrac{d \Phi_m}{dt} = - \dfrac{d}{dt} \iint_{S} \vec{B} \cdot d \vec{S} = - \iint_{S} \dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t} \cdot d \vec{S}

由此可以得出感生电场强度的环流公式

∮lEi⃗⋅dl⃗=−∬S∂B⃗∂t⋅dS⃗\oint_{l} \vec{E_i} \cdot d\vec{l} = - \iint_{S} \dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t} \cdot d \vec{S}

从这个式子可以发现：变化的磁场产生电场！

借助stokes定理，可以写出该式子的微分形式

∇×Ei⃗=−∂B⃗∂t\nabla \times \vec{E_i} = - \dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t}

方向：Ei⃗\vec{E_i}和∂B⃗∂t\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t}构成左旋关系（Ei⃗\vec{E_i}和−∂B⃗∂t- \dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t}构成右旋关系）

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感应电场的性质

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可以发现，感应电场与磁场的涡旋性质相似！

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电流产生磁场

∮lB⃗⋅dl⃗=μ0I=μ0∬Sj⃗⋅dS⃗\oint_{l} \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I = \mu_0 \iint_{S} \vec{j} \cdot d\vec{S}

变化的磁场产生感应电场

∮lEi⃗⋅dl⃗=−∬S∂B⃗∂t⋅dS⃗\oint_{l} \vec{E_i} \cdot d\vec{l} = - \iint_{S} \dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t} \cdot d \vec{S}

感应涡电流和趋肤效应

感应电流不仅能在导电回路内出现， 而且当大块导体与磁场有相对运动或处在变化的磁场中时，在这块导体中也会激起感应电流.这种在大块导体内流动的感应电流,叫做涡电流 ,简称涡流。

I∝Ei∝∂B∂t∝ωI \propto E_i \propto \dfrac{\partial B}{\partial t} \propto \omega

故热功率

P∝I2∝ω2P \propto I^2 \propto \omega^2

轴对称变化磁场产生的感应电场

磁场变化产生感应电场，场线图示如图,设有轴对称变化的磁场，磁场强度 BB 随时间变化，产生感应电场 EE。

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Φm=∬SB⃗⋅dS⃗=∫0rB(r,t)2πr drEi⋅2πr=−ddt∫0rB(r,t)2πr dr\Phi_m = \iint_{S} \vec{B} \cdot d \vec{S} = \int_0^r B(r,t) 2\pi r \, dr \\ E_i \cdot 2\pi r = - \frac{d}{dt} \int_0^r B(r,t) 2\pi r \, dr

引进平均磁感应强度

B‾=∫0rB(r,t)2πr drπr2=Φmπr2\overline{B} = \frac{ \int_0^r B(r,t) 2\pi r \, dr}{\pi r^2} = \frac{\Phi_m}{\pi r^2}

从而有

Ei⋅2πr=−πr2dB‾dtE_i \cdot 2\pi r = -\pi r^2 \frac{d\overline{B}}{dt}

故有以下结论：

  • 当 r≤Rr \leq R 时：

    Ei=−r2∂B‾∂tE_i = - \frac{r}{2} \frac{\partial \overline{B}}{\partial t}

    • 其中，B‾=Φmπr2\overline{B} = \frac{\Phi_m}{\pi r^2} 为平均磁感应强度

  • 当 r>Rr > R 时：

    Ei=−R22r∂B‾∂tE_i = - \frac{R^2}{2r} \frac{\partial \overline{B}}{\partial t}

    • 其中，B‾=ΦmπR2\overline{B} = \frac{\Phi_m}{\pi R^2} 为平均磁感应强度

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感生电动势（涡旋电场）的计算

闭合回路的话，直接用法拉第电磁感应定律就好

下面讨论一般导线的计算方法

方法1：先算感应电场强度，再积分得到感生电动势

  1. 先计算感生电场Ei⃗\vec{E_i}。计算公式：法拉第-麦克斯韦方程

    ∮lEi⃗⋅dl⃗=−∬S∂B⃗∂t⋅dS⃗\oint_{l} \vec{E_i} \cdot d\vec{l} = - \iint_{S} \dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t} \cdot d \vec{S}

  2. 从上面的式子可以看倒，感生电场Ei⃗\vec{E_i}要有柱对称性才能计算

    • 获取柱对称性的方法：空间均匀的磁场被限制在一个圆柱体内，磁感应强度方向平行柱轴，如长直螺线管内部的场。这样的场具有柱对称性

  3. 一旦计算出来感应电场，就可以通过积分计算任意曲线l上的感生电动势

    ϵ=∫lEi⃗⋅dl⃗\epsilon = \int_{l} \vec{E_i} \cdot d\vec{l}

方法2：补偿法，把导线补全成回路计算

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对于那些补全以后反向计算很方便（互补部分计算很方便）的导线，可以使用补偿法

ϵ=−dΦmdt=ϵabc+ϵcda  ⟹  ϵabc=ϵ−ϵcda\epsilon = - \dfrac{d \Phi_m}{dt} = \epsilon_{abc} + \epsilon_{cda} \\ \implies \epsilon_{abc} = \epsilon - \epsilon_{cda}

常用的重要结论 圆柱电磁场半径方向（法向）上的感生电动势为零，沿轴方向上的感生电动势也为0

举个例子：下图圆柱电磁场中的Oa，Ob方向上的感生电动势就为0

ϵoa=ϵob=0\epsilon_{oa} = \epsilon_{ob} = 0

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利用上述结论，有以下方法：

  1. 补偿法：补上半径方向（法向）的线段构成回路

  2. 确定磁感应强度的来源，根据安培环路定理（或者毕奥·萨伐尔定律），计算出B⃗\vec{B}

  3. 计算出回路磁通量Φm\Phi_m

    Φm=∬SB⃗⋅dS⃗\Phi_m = \iint_{S} \vec{B} \cdot d\vec{S}

  4. 直接使用法拉第电磁感应定律，计算感生电动势

    ϵoab=−dΦoabdt=ϵoa+ϵob+ϵab=ϵab\epsilon_{oab} = - \dfrac{d \Phi_{oab}}{dt} = \epsilon_{oa} + \epsilon_{ob} + \epsilon_{ab} = \epsilon_{ab}

方法选择

  • 对于导线
    • 补偿法，然后方法2
    • 方法1
  • 对于回路
    • 基本都是直接方法2

既有动生电动势，又有感生电动势的计算

方法1：构造一个回路（可以使用补偿法），直接使用法拉第电磁感应定律

  1. 确定磁感应强度的来源，根据安培环路定理（或者毕奥·萨伐尔定律），计算出B⃗\vec{B}

  2. 根据B⃗\vec{B}，写出回路磁通量Φm\Phi_m

  3. 然后直接用法拉第电磁感应定律的公式

Φm=∬SB⃗⋅dS⃗ϵ=−dΦmdt\Phi_m = \iint_{S} \vec{B} \cdot d\vec{S} \quad \epsilon = - \dfrac{d \Phi_m}{dt}

注意方向：

  • S是以L为边界的任意面

  • L的正绕向与S的法向成右手螺旋关系

方法2：分开计算并相加

ϵ=ϵ动+ϵ感ϵ动=∫l⃗(v⃗×B⃗)⋅dl⃗ϵ感=∫lEi⃗⋅dl⃗\epsilon = \epsilon_{动} + \epsilon_{感} \\ \epsilon_{动} = \int_{\vec{l}} (\vec{v} \times \vec{B}) \cdot d\vec{l} \quad \epsilon_{感} = \int_{l} \vec{E_i} \cdot d\vec{l}

方法选择

  • 对于回路
    • 基本都是直接方法1
  • 对于导线
    • 补偿法，然后方法1
    • 方法2（其实很少用）

15.4 自感与互感

自感的定义

自感现象：因线圈中电流变化而在线圈自身所引起的电磁感应现象。

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自感电动势：自感现象中产生的感应电动势。不难发现，自感电动势产生的感应电流的方向总是阻碍原电流强度的变化。

Ψ=∑iΦmiB∝I  ⟹  Φ∝I  ⟹  Ψ∝I\Psi = \sum_{i} \Phi_{mi} \\ B \propto I \implies \Phi \propto I \implies \Psi \propto I

故我们可以把Ψ\Psi写成

Ψ=LI  ⟹  L=ΨI\Psi = LI \implies L = \dfrac{\Psi}{I}

其中LL就称为回路的自感，这就是自感LL的定义

规定回路正方向与电流方向一致，故有L>0L > 0

自感由回路的形状、大小及周围介质决定，是线圈自身的固有属性

感应电动势可以写成

ϵ=−dΨdt=−d(LI)dt=−LdIdt−IdLdt\epsilon = -\dfrac{d\Psi}{dt} = - \dfrac{d(LI)}{dt} = -L\dfrac{dI}{dt} - I\dfrac{dL}{dt}

  • L变化：线圈有变形或者运动
  • L不变：线圈静止，没有变形

若L不变，可以得到

ϵL=−LdIdtL=−ϵLdIdt\epsilon_L = -L \dfrac{dI}{dt} \quad L = - \dfrac{\epsilon_L}{\frac{dI}{dt}}

注意，自感电动势方向和电路中电势下降的方向（电压方向）是相反的，所以这个式子的符号和电路中电感模型的电压电流关系是相反的

U=−ϵL=LdIdtU = -\epsilon_L = L \dfrac{dI}{dt}

自感的计算方法

正常方法

  1. 设线圈中通过电流I⃗\vec{I}
  2. 计算电流在空间的磁场B⃗\vec{B}
  3. 求出通过线圈回路的磁通量Ψ\Psi
  4. 用定义式求出L=ΨIL = \dfrac{\Psi}{I}

从能量角度计算

Wm=12LI2=∫V12B2μdV=∫VwmdV  ⟹  L=2WmI2W_m = \dfrac{1}{2} LI^2 = \int_{V} \dfrac{1}{2}\dfrac{B^2}{\mu} dV = \int_{V} w_m dV \implies L = \frac{2W_m}{I^2}

互感的定义

互感现象：由于一个载流回路中电流变化，引起邻近另一回路中产生感生电动势的现象

互感电动势：互感现象中产生的感应电动势。

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I1变化  ⟹  线圈2Ψ21变化  ⟹  线圈2中产生ϵ21I2变化  ⟹  线圈1Ψ12变化  ⟹  线圈1中产生ϵ12I_1变化\implies 线圈2 \Psi_{21}变化 \implies 线圈2中产生\epsilon_{21} \\ I_2变化\implies 线圈1 \Psi_{12}变化 \implies 线圈1中产生\epsilon_{12}

Ψ21=M21I1Ψ12=M12I2M12=M21=M\Psi_{21} = M_{21}I_1 \quad \Psi_{12} = M_{12}I_2 \\ M_{12} = M_{21} = M

互感系数MM的定义为

M=Ψ21I1=Ψ12I2M = \dfrac{\Psi_{21}}{I_1} = \dfrac{\Psi_{12}}{I_2}

感应电动势为

ϵ21=−dΨ21dt=−MdI1dt−I1dMdtϵ12=−dΨ12dt=−MdI2dt−I2dMdt\epsilon_{21} = - \dfrac{d \Psi_{21}}{dt} = -M\dfrac{dI_1}{dt} - I_1 \dfrac{dM}{dt} \\ \epsilon_{12} = - \dfrac{d \Psi_{12}}{dt} = -M\dfrac{dI_2}{dt} - I_2 \dfrac{dM}{dt}

  • M变化：线圈有变形或者运动
  • M不变：线圈静止，没有变形

若M不变，

ϵ21=−dΨ21dt=−MdI1dtϵ12=−dΨ12dt=−MdI2dtM=−ϵ21dI1dt=−ϵ12dI2dt\epsilon_{21} = -\dfrac{d\Psi_{21}}{dt} = -M\dfrac{d I_1}{dt} \quad \epsilon_{12} = -\dfrac{d\Psi_{12}}{dt} = -M\dfrac{d I_2}{dt}\\ M = - \dfrac{\epsilon_{21}}{\frac{dI_1}{dt}} = - \dfrac{\epsilon_{12}}{\frac{dI_2}{dt}}

注意：互感电动势方向和耦合电感电压方向是反的，所以符号和电路中的耦合电感模型也是反的

互感的计算方法

  1. 设线圈1（或线圈2）中通过电流I1⃗\vec{I_1}（或I⃗2\vec{I}_2）
  2. 计算电流在空间的磁场B1⃗\vec{B_1}或B2⃗\vec{B_2}
  3. 求出通过另一线圈回路的磁通量Ψ21\Psi_{21}或Ψ12\Psi_{12}
  4. 用定义式求出M=Ψ21I1 or M=Ψ12I2M = \dfrac{\Psi_{21}}{I_1} \space or \space M= \dfrac{\Psi_{12}}{I_2}

技巧：M12M_{12}和M21M_{21}是相等的，所以实际计算的时候找方便的一边计算。如果发现一边很难算，要有逆向思维的意识，反过来计算，很可能会简单很多

互感线圈之间的磁耦合

大雾应该不太能考这个，更详细的分析见DLLL中的耦合电感相关分析

定义耦合系数为

k=∣M∣L1L2k = \frac{|M|}{\sqrt{L_1 L_2}}

15.5 磁场能量

自感线圈磁能

Wm=12LI2W_m = \dfrac{1}{2} LI^2

互感线圈磁能

Wm=±MI1I2(M>0)W_m = \pm M I_1 I_2 \quad (M>0)

符号：

  • 线圈中产生的磁通互相增强：+
  • 线圈中产生的磁通互相削弱：-

两个线圈总磁能

把自感，互感磁能相加得到总磁能

Wm=12L1I12+12L2I22±MI1I2(M>0)W_m = \dfrac{1}{2} L_1I_1^2 + \dfrac{1}{2} L_2I_2^2 \pm M I_1 I_2 \quad (M>0)

方向的处理

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当电流方向，互感方向（线圈相对绕向）如上图的时候

Wm=12L1I12+12L2I22+MI1I2W_m = \dfrac{1}{2} L_1I_1^2 + \dfrac{1}{2} L_2I_2^2 + M I_1 I_2

任意电流与图示电流相反的时候

Wm=12L1I12+12L2I22−MI1I2W_m = \dfrac{1}{2} L_1I_1^2 + \dfrac{1}{2} L_2I_2^2 - M I_1 I_2

任意互感方向（线圈相对绕向）与图示的同向情况相反，即互感方向相反的时候，M的部分也要加一个负号，这个和上面的方向相反是可叠加的

设 I1,I2I_1, I_2 产生磁场 B1⃗,B2⃗,H1⃗,H2⃗\vec{B_1}, \vec{B_2}, \vec{H_1}, \vec{H_2}

B⃗=B1⃗+B2⃗H⃗=H1⃗+H2⃗\vec{B} = \vec{B_1} + \vec{B_2} \quad \vec{H} = \vec{H_1} + \vec{H_2}

Wm=12∭B⃗⋅H⃗dV=12μ∭(H1⃗+H2⃗)⋅(H1⃗+H2⃗)dV=12μ∭(H12+H22+2H1⃗⋅H2⃗)dVW_{\mathrm{m}} = \frac{1}{2}\iiint\vec{B} \cdot \vec{H}\mathrm{d}V = \frac{1}{2}\mu\iiint(\vec{H_1} + \vec{H_2})\cdot(\vec{H_1} + \vec{H_2})\mathrm{d}V \\ = \frac{1}{2}\mu\iiint(H_1^2 + H_2^2 + 2\vec{H_1} \cdot \vec{H_2})\mathrm{d}V

空间任意磁场

磁场能量密度

wm=12B⃗⋅H⃗w_m = \dfrac{1}{2}\vec{B} \cdot \vec{H}

对于各向同性介质，可以进一步写成

wm=12B2μ=12μH2=12BHw_m = \dfrac{1}{2}\dfrac{B^2}{\mu} = \dfrac{1}{2}\mu H^2 = \dfrac{1}{2} BH

空间任意磁场能量

Wm=∭VwmdV=12∭VB⃗⋅H⃗dVW_m = \iiint_{V} w_mdV = \dfrac{1}{2} \iiint_{V} \vec{B} \cdot \vec{H} dV

对于各向同性介质，可以进一步写成

Wm=12∭VB2μdV=12∭VμH2dV=12∭VBHdVW_m = \dfrac{1}{2} \iiint_{V} \dfrac{B^2}{\mu}dV = \dfrac{1}{2} \iiint_{V} \mu H^2 dV = \dfrac{1}{2} \iiint_{V} BH dV

补充：线圈受力问题

磁场总能量

磁场储能表示为：

Wm=12L1I12+12L2I22+MI1I2W_m = \frac{1}{2} L_1 I_1^2 + \frac{1}{2} L_2 I_2^2 + M I_1 I_2

可化为：

Wm=12I1(L1I1+MI2)+12I2(L2I2+MI1)W_m = \frac{1}{2} I_1 \left( L_1 I_1 + M I_2 \right) + \frac{1}{2} I_2 \left( L_2 I_2 + M I_1 \right)

进一步写成磁通的形式

Wm=12I1Φ1+12I2Φ2W_m = \frac{1}{2} I_1 \Phi_1 + \frac{1}{2} I_2 \Phi_2

再利用以下条件

{Φ1=L1I1+MI2Φ2=L2I2+MI1  ⟹  {I1=L2Φ1−MΦ2L1L2−M2I2=L1Φ2−MΦ1L1L2−M2\begin{cases} \Phi_1 = L_1 I_1 + M I_2 \\ \Phi_2 = L_2 I_2 + M I_1 \end{cases} \implies \begin{cases} I_1 = \frac{L_2 \Phi_1 - M \Phi_2}{L_1 L_2 - M^2}\\ I_2 = \frac{L_1 \Phi_2 - M \Phi_1}{L_1 L_2 - M^2} \end{cases}

可以把能量写成只包含磁通的形式

W=1L1L2−M2(12L1Φ12+12L2Φ22−MΦ1Φ2)W = \frac{1}{L_1 L_2 - M^2} \left( \frac{1}{2} L_1 \Phi_1^2 + \frac{1}{2} L_2 \Phi_2^2 - M \Phi_1 \Phi_2 \right)

其中，Φj\Phi_j 为通过第 jj 个线圈的总磁通。

电源反抗感应电动势的功

电动势作用为：

dAi(1)=−Iiεi dt=IidΦidt dt=Ii dΦi\mathrm{d}A_i^{(1)} = - I_i \varepsilon_i \, \mathrm{d}t = I_i \frac{\mathrm{d}\Phi_i}{\mathrm{d}t} \, \mathrm{d}t = I_i \, \mathrm{d}\Phi_i

分析系统总能量变化

对于 NN 个线圈，第 jj 个线圈有电流 IjI_j，通过的磁通量为 Φj\Phi_j，体系做微小虚位移 dξi\mathrm{d}\xi_i。

系统总能量的变化为：

dW=∑jIj dΦj−∑iFi dξi\mathrm{d}W = \sum_j I_j \, \mathrm{d}\Phi_j - \sum_i F_i \, \mathrm{d}\xi_i

其中，FiF_i 表示作用力。

系统总能量的变化等于电源做功与克服相互作用力做功之和。

情况1：系统各部分磁通保持不变

假设磁通保持不变：

dΦj=0(j=1,2,…,N)\mathrm{d}\Phi_j = 0 \quad (j = 1, 2, \dots, N)

则安培力的表达式为：

Fi=−(∂W∂ξi)ΦF_i = - \left( \frac{\partial W}{\partial \xi_i} \right)_{\Phi}

WW 要表示为 Φj\Phi_j 和 ξi\xi_i 的函数。

Wm=12I1Φ1+12I2Φ2=1L1L2−M2(12L1Φ12+12L2Φ22−MΦ1Φ2)W_m = \frac{1}{2} I_1 \Phi_1 + \frac{1}{2} I_2 \Phi_2 = \frac{1}{L_1 L_2 - M^2} \left( \frac{1}{2} L_1 \Phi_1^2 + \frac{1}{2} L_2 \Phi_2^2 - M \Phi_1 \Phi_2 \right)

情况2：系统各部分电流保持不变

假设电流保持不变：

dIj=0(j=1,2,…,N)\mathrm{d}I_j = 0 \quad (j = 1, 2, \dots, N)

能量 WW 表示为：

W=12∑jIjΦjW = \frac{1}{2} \sum_j I_j \Phi_j

能量的变化为：

dW=12∑jIj dΦj\mathrm{d}W = \frac{1}{2} \sum_j I_j \, \mathrm{d}\Phi_j

代入能量方程：

12∑jIj dΦj=∑jIj dΦj−∑iFi dξi\frac{1}{2} \sum_j I_j \, \mathrm{d}\Phi_j = \sum_j I_j \, \mathrm{d}\Phi_j - \sum_i F_i \, \mathrm{d}\xi_i

可得安培力为：

Fi=(∂W∂ξi)IF_i = \left( \frac{\partial W}{\partial \xi_i} \right)_I

WW 要表示为 IjI_j 和 ξi\xi_i 的函数。

Wm=12L1I12+12L2I22+MI1I2W_m = \frac{1}{2} L_1 I_1^2 + \frac{1}{2} L_2 I_2^2 + M I_1 I_2

总结

在不同假设条件下：

  1. 磁通量保持不变时，安培力为 Fi=−(∂W∂ξi)ΦF_i = - \left( \frac{\partial W}{\partial \xi_i} \right)_{\Phi}
  2. 电流保持不变时，安培力为 Fi=(∂W∂ξi)IF_i = \left( \frac{\partial W}{\partial \xi_i} \right)_I

例子：对于两个螺线管

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磁场储能表示为：

W=12L1I12+12L2I22+MI1I2W = \frac{1}{2} L_1 I_1^2 + \frac{1}{2} L_2 I_2^2 + M I_1 I_2

根据前面的分析，相互作用力表示为：

Fx=(∂W∂x)IF_x = \left( \frac{\partial W}{\partial x} \right)_I

代入储能公式可得：

Fx=I1I2∂M∂xF_x = I_1 I_2 \frac{\partial M}{\partial x}

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