Chapter16 电磁场与电磁波

常识补充

球冠表面积公式

$$S = 2\pi R h = 2 \pi R (R-x)$$

矢量三重积公式

$$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) = (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{c}$$

16.1 麦克斯韦电磁理论

位移电流假设

1. 分析通过通过闭合曲面的电位移矢量通量和和曲面内电荷的关系

   $$q = \oiint_{S_1 + S_2} \vec{D} \cdot d \vec{S} = \iint_{S_2} \vec{D} \cdot d \vec{S} = \Phi_D$$

   可以发现闭合面内电荷量 = 通过 $S_2$ 面的电通量

2. 分析通过 $S_1$ 面的传导电流

$$I_c = \dfrac{dq}{dt} = \iint_{S_2} \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} \cdot d \vec{S} = \frac{d \Phi_D}{dt}$$

故有结论：通过 $S_1$ 面的传导电流 $=$ 通过 $S_2$ 面的电通量的变化率

故可以如下定义位移电流和位移电流密度

$$I_d = \iint_S \dfrac{\partial \vec{D}}{\partial t} \cdot d\vec{S} = \frac{d \Phi_D}{dt} \quad \vec{j_d} = \dfrac{\partial \vec{D}}{\partial t}$$

显然，位移电流和位移电流密度有关系：

$$I_d = \dfrac{d \Phi}{dt} = \iint_{S} \vec{j_d} \cdot d\vec{S}$$

全电流连续性原理

若电路中同时存在传导电流$I_c$和位移电流$I_d$，传导电流和位移电流之和称为全电流

$$I_s = I_c + I_d$$

对于任何电路（闭合回路），全电流是处处连续的

$$\oiint_{S}(\vec{j_c}+\vec{j_d})\cdot d\vec{S} = 0 \quad \nabla \cdot (\vec{j_c} + \vec{j_d}) = 0$$

全电流的安培定理

$$\oint_{l} \vec{H} \cdot d\vec{l} = I_c + I_d = \iint_{S} (\vec{j_c} + \dfrac{\partial \vec{D}}{\partial t}) \cdot d \vec{S}$$

由此可见，变化的电场会产生磁场

以上式子的微分形式

$$\nabla \times \vec{H} = \vec{j_c} + \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}$$

16.2 电磁波

麦克斯韦方程组

$$\begin{cases} \oint_{l} \vec{H} \cdot d\vec{l} = \iint_{S} (\vec{j_c} + \dfrac{\partial \vec{D}}{\partial t}) \cdot d \vec{S} \\ \oint \vec{E} \cdot d\vec{l} = - \iint_{S} \dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t} \cdot d\vec{S} \\ \oiint_{S} \vec{B} \cdot d \vec{S} = 0 \\ \oiint_{S} \vec{D} \cdot d \vec{S} = q \end{cases}$$

对各向同性介质，各量间的关系为

$$\vec{D} = \epsilon \vec{E} \quad \vec{B} = \mu \vec{H} \quad \vec{j} = \gamma \vec{E}$$

微分形式：

1. 高斯定理（电场）：

   $$\nabla \cdot \vec{D} = \rho$$

2. 高斯定理（磁场）：

   $$\nabla \cdot \vec{B} = 0$$

3. 法拉第电磁感应定律：

   $$\nabla \times \vec{E} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$$

4. 安培环路定律（全电流定律）：

   $$\nabla \times \vec{H} = \vec{j_c} + \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}$$

电磁波波动方程

推导过程

$$\begin{aligned} \nabla \times \vec{H} &= \frac{\partial \vec{D}}{\partial t} \\ \nabla \times ( \nabla \times \vec{H}) &= \frac{\partial (\nabla \times \vec{D})}{\partial t} \\ &= \epsilon_0 \frac{\partial (\nabla \times \vec{E})}{\partial t} \\ &= -\epsilon_0 \frac{\partial^2 \vec{B}}{\partial t^2} \\ &= -\epsilon_0 \mu_0 \frac{\partial^2 \vec{H}}{\partial t^2} \end{aligned}$$

又由于

$$\nabla \times ( \nabla \times \vec{H}) = \nabla(\nabla \cdot \vec{H}) - (\nabla \cdot \nabla ) \vec{H} = -\nabla^2 \vec{H}$$

故可以得到

$$\nabla^2 \vec{H} = \mu \epsilon \dfrac{\partial^2 \vec{H}}{\partial t^2}$$

类似地，对于电场强度也可以推导出

$$\nabla^2 \vec{E} = \mu \epsilon \dfrac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}$$

结论

从Maxwell方程组可以得到以下波动方程

$$\nabla^2 \vec{E} = \mu \epsilon \dfrac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2} \quad \nabla^2 \vec{H} = \mu \epsilon \dfrac{\partial^2 \vec{H}}{\partial t^2}$$

由此可以得出电磁波的波动性

$$\dfrac{\partial^2 E_y}{\partial x^2} = \mu \epsilon \dfrac{\partial^2 E_y}{\partial t^2} \quad \dfrac{\partial^2 H_z}{\partial x^2} = \mu \epsilon \dfrac{\partial^2 H_z}{\partial t^2}$$

与标准波动方程比较

$$u_{tt} - u^2 u_{xx} = 0$$

可得波速

$$u = \dfrac{1}{\sqrt{\mu \epsilon}}$$

真空中

$$u = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$$

介质中

$$u = \frac{1}{\sqrt{\mu \epsilon}} = \frac{c}{\sqrt{\mu_r \epsilon_r}} = \frac{c}{n} \quad n = \sqrt{\mu_r \epsilon_r}$$

平面简谐电磁波的特性

简化到一维平面情况，就可以得到类似一维波动方程的形式

$$\dfrac{\partial^2 E_y}{\partial x^2} = \mu \epsilon \dfrac{\partial^2 E_y}{\partial t^2} \quad \dfrac{\partial^2 H_z}{\partial x^2} = \mu \epsilon \dfrac{\partial^2 H_z}{\partial t^2}$$

• 矢量 $E$ 应与传播方向垂直，设 $E$ 的方向为y方向
• 把旋度的式子展开进行分析，就可以得到矢量 $H$ 应与传播方向垂直，与 $E$ 方向垂直

相关推导过程

电场的表达式的复数表示

平面电磁波的电场表示为：

$$\vec{E} = \vec{E}_0 \cos \omega \left( t - \frac{x}{c} \right)$$

复表示：

$$\vec{E} = \text{Re} \left[ \vec{E}_0 e^{j\left( \omega t - \vec{k} \cdot \vec{r} \right)} \right]$$

• 方向：$\vec{k}$ 的方向表征电磁波的传播方向。

导数性质：

• $\nabla e^{j(\omega t - \vec{k} \cdot \vec{r})} = -j\vec{k} e^{j(\omega t - \vec{k} \cdot \vec{r})}$
• $\frac{\partial}{\partial t} e^{j(\omega t - \vec{k} \cdot \vec{r})} = j\omega e^{j(\omega t - \vec{k} \cdot \vec{r})}$

由麦克斯韦方程组可得：

$$\nabla^2 \vec{E} = \mu \epsilon \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}$$

推导出：

$$\vec{k}^2 = \omega^2 \mu \epsilon \quad \Rightarrow \quad k = \frac{\omega}{u}$$

其中：

• $u = \frac{1}{\sqrt{\mu \epsilon}}$ 表示波在介质中的传播速度。

电场方向与传播方向

在各向同性介质中，电磁波的电场 $\vec{E}$ 与传播方向 $\vec{k}$ 垂直：

$$\nabla \cdot \vec{D} = 0 \quad \Rightarrow \quad \vec{k} \cdot \vec{E} = 0$$

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磁场与电磁波方向关系

磁场的复表示为：

$$\vec{H} = \text{Re} \left[ \vec{H}_0 e^{j(\omega t - \vec{k} \cdot \vec{r})} \right]$$

在各向同性介质中，磁场 $\vec{H}$ 的方向与传播方向 $\vec{k}$ 垂直，与电场 $\vec{E}$ 也垂直。

电场与磁场的关系

由麦克斯韦方程：

$$\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$$

可得：

$$\vec{k} \times \vec{E} = \omega \mu \vec{H}$$

进一步推导：

$$\vec{E} \times (\vec{k} \times \vec{E}) = \omega \mu \vec{E} \times \vec{H}$$

化简为：

$$\vec{E} \times \vec{H} = \frac{1}{\omega \mu} \vec{k} E^2$$

说明：

• 在各向同性介质中，$\vec{E} \times \vec{H}$ 的方向与传播方向 $\vec{k}$ 一致。

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平面电磁波沿 $x$ 正方向传播时

假设电场方向为 $y$ 方向，则磁场方向为 $z$ 方向：

$$\vec{k} \times \vec{E} = \omega \mu \vec{H}$$

则：

$$E = E_0 \cos \omega \left( t - \frac{x}{c} \right) \quad H = H_0 \cos \omega \left( t - \frac{x}{c} \right)$$

其中：

• $k = \frac{\omega}{c}$
• $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$

磁场振幅：

$$H_0 = \frac{E_0}{\mu_0 c} = \sqrt{\frac{\epsilon_0}{\mu_0}} E_0$$

沿 $x$ 轴负方向传播时：

$$E = E_0 \cos \omega \left( t + \frac{x}{c} \right) \quad H = -H_0 \cos \omega \left( t + \frac{x}{c} \right)$$

沿x轴正向传播的电磁波

$$E_y = E_0 cos \omega(t-\dfrac{x}{u}) \\ H_z = H_0 cos \omega(t - \dfrac{x}{u})$$

沿x轴负向传播的电磁波

$$E_y = E_0 cos \omega(t+\dfrac{x}{u}) \\ H_z = -H_0 cos \omega(t+\dfrac{x}{u})$$

电场强度和磁场强度的关系

$$H_0 = \dfrac{E_0}{\mu u} = \sqrt{\dfrac{\epsilon}{\mu}}E_0 \implies H_z = \dfrac{E_y}{\mu u}= \sqrt{\dfrac{\epsilon}{\mu}}E_y$$

反正结论就是

$$H = \sqrt{\dfrac{\epsilon}{\mu}}E \quad \sqrt{\epsilon} E = \sqrt{\mu}H$$

总结

可以总结出如下结论：

1. 电磁波是横波，$\vec{E}$与$\vec{H}$分别在相互垂直的平面内振动，并与$\vec{u}$构成右手螺旋系。

2. 电磁波存在偏振性

3. $\vec{E}$与$\vec{H}$同相位：电磁波中的电场强度和磁感应强度都作周期性变化，在任意给定的位置，两者的相位相同。

4. $\vec{E}$与$\vec{H}$在数值上成比例

   $$\sqrt{\epsilon} E = \sqrt{\mu}H$$

5. 电磁波在媒质中传播的速度$u = \dfrac{1}{\sqrt{\mu \epsilon}}$

   • 电磁波在真空中的传播速度$u = \dfrac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$即为光速

电磁波的能量

坡印廷矢量

$$\vec{S} = \vec{E} \times \vec{H}$$

坡印廷矢量描述了对任意一个闭合曲面而言，流出去的能量

电磁波能量密度

即单位体积的电磁能量 $w$，综合前面所学的知识，可以知道电场能量和磁场能量的密度，从而得到总的电磁能量密度

$$w_e = \dfrac{\epsilon E^2}{2} \quad w_m = \dfrac{\mu H^2}{2} \\ w = w_e + w_m = \dfrac{1}{2}(\epsilon E^2+\mu H^2)$$

电磁波能流密度

单位时间内通过垂直于传播方向的单位面积的辐射能，称为能流密度

$$S = wu = \dfrac{u}{2}(\epsilon E^2+\mu H^2) \\ \sqrt{\epsilon} E = \sqrt{\mu}H \quad u = \frac{1}{\sqrt{\epsilon \mu}} \\ \implies S = \frac{1}{2 \sqrt{\epsilon \mu}} (2\sqrt{\epsilon} E \sqrt{\mu} H) = EH$$

结论：

$$S = EH$$

电磁波能流密度与坡印廷矢量

由上面能流密度的推导，可得数值上

$$S = EH$$

又由于辐射能的传播方向$\vec{S}$、$\vec{E}$的方向及$\vec{H}$的方向三者相互垂直，符合右手螺旋定则

故能流密度的矢量表示如下，即为坡印廷矢量

$$\vec{S} = \vec{E} \times \vec{H}$$

电磁波的强度（平均能流密度）

电磁波强度即为平均能流密度

$$\begin{aligned} I &= \overline{S} = \sqrt{\frac{\epsilon}{\mu}} \overline{E^2} \\ &= \dfrac{1}{2} \sqrt{\dfrac{\epsilon}{\mu}}E_0^2 = \dfrac{1}{2}E_0 H_0 = \dfrac{\epsilon_0 c E_0^2}{2} \end{aligned}$$

电磁波的功率

由坡印廷矢量求功率

$$P = \iint_{A} \vec{S} d\vec{A}$$

电磁波平均功率：通过横截面积A

$$\overline{P} = \iint_{A} \vec{\overline{S}} d\vec{A}$$

电磁波平均功率：通过闭合曲面A

$$\overline{P} = \oiint_{A} \vec{\overline{S}} d\vec{A}$$

电磁波的质量与动量

由质能关系，可得电磁场的质量密度（$w$表示电磁波能量密度，$c$代表光速）

$$m = \dfrac{w}{c^2}$$

电磁场的动量密度

$$p = \frac{E}{c} = \frac{w}{c}$$

电磁波的辐射压强

$$\dfrac{dF}{dS} = \frac{dP}{dS dt} = \dfrac{pdSdl}{dSdt} = pc = w$$

• 平均压强

  $$\overline{\frac{F}{\Delta S}} = \overline{w} = \frac{\overline{S}}{c}$$

16.3 电磁波的产生

估计不考