Chapter 17 光的干涉和衍射

干涉：分立的、有限多的光束的相干叠加

衍射：连续的、无穷多的子光波的相干叠加

17.1 光的相干性

光源的特性

光源的发光是大量的分子或原子进行的一种微观过程

普通光源发光特点：

• 每一次发光持续时间短
• 发光是随机事件
• 不同原子发的光互相独立
• 同一原子先后发的光互相独立

互相独立：前后发光间隔，频率，相位，振动方向，传播方向都是随机的，都存在差异

相干条件

发生干涉现象的条件：

• 两束光振动频率相同（两列单色光）
• 振动方向相同
• 相位差恒定

两列单色光的叠加

考虑振动频率和方向相同的两束单色光叠加，光波叠加本质上是电场强度叠加

光矢量叠加

引入$\vec{E}$ – 光矢量

$$\omega_1 = \omega_2 = \omega \quad \vec{E}_1 // \vec{E}_2$$

可以写出以下叠加的式子

$$E_1 = E_{10}cos(\omega t -k_1r_1+\varphi_{10}) \\ E_2 = E_{20}cos(\omega t -k_2r_2+\varphi_{20}) \\ \vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 = \vec{E_0}cos(\omega t+ \Delta \varphi)$$

其中

$$E_0 = \sqrt{E_{10}^2+E_{20}^2+2E_{10}E_{20}cos\Delta \varphi} \\ \Delta \varphi = \varphi_{10} - \varphi_{20} + (k_2r_2 - k_1r_1)$$

光强的关系

结合之前定义过的光强$I \propto E_0^2$，可得叠加时光强的关系

$$I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} cos \Delta \varphi$$

对于普通光源发出的光，有$\overline{\cos \Delta \varphi} = 0$，是非相干光源

相位的关系

• 如果$\Delta \varphi = \text{const} \implies \varphi_2 - \varphi_1 = \text{const}$，即两个光源发出的光之间具有确定的相位差（指的是初相位之差恒定），则把这两个光源称为相干光源，它们所发出的就是相干光
• 当两束相干光在空间任一点相遇时，它们之间的相位差随空间位置不同而连续变化，$\Delta \varphi$也连续变化，从而在不同位置上出现光强的强弱分布，这种现象就是光的干涉现象

$$k_2r_2 - k_1r_1 = \dfrac{2\pi}{cT}(n_2r_2 - n_1r_1) = \dfrac{2\pi}{\lambda}(n_2r_2 - n_1r_1)$$

定义光程差$\delta = n_2r_2 - n_1r_1$，可以得到

$$\Delta \varphi = \varphi_{10} - \varphi_{20} + \dfrac{2 \pi \delta}{\lambda}$$

光程和光程差的定义

• 光程的定义：光波在某一媒质中所经历的几何路程与这媒质的折射率的乘积为光程，用 L 表示
• 光程可理解为在介质中光传播的这段时间内光可以在真空中走的路程
  • 光在介质中传播一定距离与在真空中传播对应的光程，所用时间相等

$$\Delta t = \sum_{i} \frac{\Delta l_i}{v_i} = \sum_i \frac{n_i \Delta l_i}{c} = \frac{L}{c} \implies \text{光程} L = \sum_{i} n_i \Delta l_i$$

• 光程的物理意义：光在折射率为n的介质中传播r的路程所引起的相位的变化，与在真空中传播nr的路程所引起的相位的变化是相同的 $\implies$ 光经过相同的光程所需要的时间是相等的

• 当在一种均匀介质中传播时，光程定义为媒质折射率n与光的几何路程r之积

  $$L = nr$$

• 当光在多种均匀介质中传播时，总的光程L等于光所经过的介质的光程之和

  $$L = \sum_{i} n_ir_i$$

光程差

基本定义

$$\delta = L_2 - L_1 = \sum_{2}n_2r_2 - \sum_{1}n_1 r_1$$

扩展定义

$$\delta = L_2 - L_1 = \sum_{2}n_ir_i - \sum_{1}n_i r_i$$

光程差与相位差的关系

$$\Delta \varphi = \frac{2\pi}{\lambda} \delta$$

相干性讨论

非相干叠加

由于前面提到过普通光源的发光特性，所以两个不同的普通光源发出的光往往没有相干性，观察不到干涉现象

相干叠加

相干条件：振动频率相同，振动方向相同，相位差恒定。

两列满足相干条件的光被称为相干光：相位差$\Delta \varphi$仅与场点位置有关

相干光的叠加称为相干叠加，可观察到干涉现象

从普通光源获得相干光的途径

用普通光源获得相干光的思路是将来自同一原子的同一次发光“一分为二”。也就是说，要将同一光源上同一点或极小区域发出的一束光分成两束，让它们经过不同的传播路径后，再使它们相遇，它们就是相干光。

具体方法有以下几种：

• 分波阵面法：利用波场中的任一个波前分离出两列波。

• 分振动面法：利用某些晶体的双折射性质，将一束光分解为振动面垂直的两束光。

• 分振幅法：利用两个反射面产生两束反射光。

几种干涉方法举例

1. 分波阵面法

   • 杨氏双缝干涉实验

     

   • 费涅尔双面镜实验

     

   • 费涅尔双棱镜实验

     

   • 洛埃镜实验：当经平面镜反射的光线，与直接射到屏幕上的光相遇，发生干涉，出现干涉条纹。该实验涉及光在反射时的半波损失，后面部分有具体叙述。

     

2. 分振幅法

   • 薄膜干涉

     

3. 分振动面法

   • 晶体双折射

光程差与干涉图样

假设$\varphi_{10} = \varphi_{20}$，光程差与相位差有如下关系

$$\Delta \varphi = \dfrac{2 \pi \delta}{\lambda}$$

• 干涉极大/干涉相长：明纹

$$\Delta \varphi = 2k\pi \implies \delta = k\lambda \quad k=0,\pm1,\pm2\cdots$$

• 干涉极小/干涉相消：暗纹

  $$\Delta \varphi = (2k+1)\pi \implies \delta = (2k+1)\dfrac{\lambda}{2} \quad k=0,\pm1,\pm2\cdots$$

$k$ 称为级次

光反射过程中的半波损失

半波损失：当入射光在光疏媒质中传播遇到光密媒质时，如果入射角接近于零或90度时，反射光的电矢量的振动方向相对于入射光的电矢量的振动方向几乎相反，发生$\pi$的相位突变，即产生半波损失。此时光程差应加上半个波长。

$$\delta = \sum_{2}n_ir_i - \sum_{1}n_i r_i + \dfrac{\lambda}{2}$$

每发生一次半波损失，加一个$\dfrac{\lambda}{2}$。有$n$​次造成半波损失的反射，就加$\dfrac{n\lambda}{2}$

• 注意：折射光没有半波损失

干涉条纹的可见度

$$V=\dfrac{I_{max} - I_{min}}{I_{max} + I_{min}} = \dfrac{2\sqrt{I_1I_2}}{I_1+I_2}$$

• 当$I_1<<I_2$时，$I_{max} \approx I_{min},V=0$
• 当$I_1 = I_2 = I_0$时，$I_{min} = 0,V=1$

惠更斯-菲涅耳原理

惠更斯原理

波面上每一点都可以看作是发射子波的波源，在其后的任一时刻，这些子波波面的包迹决定了原波动的新的波前。

惠更斯-菲涅耳原理

波传到的任何一点都是子波的波源，各子波在空间某点的相干叠加，就决定了该点波的强度。

17.2 双缝干涉

干涉条件省略不写了

双缝干涉光程差计算

前提条件，称之为傍轴条件：

• 缝长>>缝间距
• 幕与双缝间的距离>>双缝间距，即$L >> d$
• 横向观测范围<<幕与双缝间的距离，即$x<<L$
• 简化为平面问题

$\theta$很小，所以可以近似$sin \theta \approx \theta \approx tan\theta \approx d\dfrac{x}{L}$

且假设

$$\varphi_{10} = \varphi_{20}$$

光程差和相位差：

$$\delta = \sum_{2}n_ir_i - \sum_{1}n_i r_i = r_2 - r_1 \approx dsin\theta \approx dtan\theta \approx d\dfrac{x}{L} \\ \Delta \varphi = \dfrac{2 \pi \delta}{\lambda} = \dfrac{2 \pi}{\lambda} d\dfrac{x}{L}$$

记住光程差结论：

$$\delta = \dfrac{xd}{L}$$

双缝干涉图案分析

• 干涉极大：光强极大位置，明纹

$$\delta = k\lambda = \dfrac{xd}{L} \implies x = k\dfrac{L\lambda}{d} \quad k=0,\pm1,\pm2\cdots$$

• 干涉极小：光强极小位置，暗纹

  $$\delta = (2k+1)\dfrac{\lambda}{2} = \dfrac{xd}{L} \implies x = (2k+1)\dfrac{L\lambda}{2d} \quad k=0,\pm1,\pm2\cdots$$

• 对于明纹，$|k|$为级数，对于暗纹，$|k| + 1$为级数，中间级数最低（中央为零级明纹，零级明纹两边为一级暗纹），两边依次增大

若$I_1 = I_2 = I_0$，光强分布为

$$I = 2I_0(1+cos\Delta \varphi) = 4I_0 \cos^2 \frac{\Delta \varphi}{2} = 4I_0 \cos^2 \frac{\pi d}{\lambda L}x$$

可以得到干涉图样为一系列明暗相间的条纹，中心为明纹

相邻明纹或者暗纹的间距

$$\Delta x = x_{k+1} - x_{k} = \dfrac{L \lambda}{d}$$

可以得出结论：（$\theta$不太大时）条纹为等间距分布

各种条件对双缝干涉的影响

波长对条纹的影响

由前面的结论

$$x_k \propto \lambda \quad \Delta x \propto \lambda$$

如果为复色光，可以当成一堆波长不同的单色光组合在一起去看，结果大概会像这样

缝间距，缝长对条纹的影响

$$x_k \propto L \quad \Delta x \propto L \\ x_k \propto \dfrac{1}{d} \quad \Delta x \propto \dfrac{1}{d}$$

干涉条纹可见度

参见前面总体分析

时间相干性

由于同一波列的光才具有相干性，所以有时间相干性条件：光程差小于波列长度

$$\delta \leq L$$

相干长度：相干叠加时的最大光程差 $\delta_{\max}$

• 相干长度等于波列长度

$$L = \delta_{\max}$$

相干时间：与相干长度对应的光传播时间 $\Delta t$

$$L = c \Delta t$$

• 相干时间等于分子或原子每次发光的时间

根据量子力学不确定性，可以得出波列长度，也就是相干长度为

$$\delta_{max} = \dfrac{\lambda^2}{\Delta \lambda}$$

空间相干性

光源面积过大 $\to$ 光场中两点失去相干性

考虑下面这个问题：点光源向上（x轴正方向）偏离中轴距离$b$

$$\delta = d\dfrac{b}{D} + d\dfrac{x}{L} = d(\dfrac{b}{D} + \dfrac{x}{L})$$

眀纹位置

$$\delta = k \lambda \implies x = (\dfrac{k\lambda}{d}-\dfrac{b}{D})L$$

可见，条纹规律不变，条纹间距不变，整体向x轴负方向移动$\dfrac{b}{D}L$

如果原来的光源不是纯粹的点光源，可以将它看成很多个上述的偏移距离$b$不同的点光源叠加在一起。这会导致可见度下降

可以考虑一种较为极端的情况：当移动距离恰为条纹宽度时，一个子光源的明纹和另一个子光源的暗纹重合，可见度为零。

这种情况下（注意 $b$ 是光源半宽度）

$$\dfrac{b}{D}L = \Delta x= \dfrac{\lambda}{2d}L$$

如果光源半宽度恰好为这个式子对应的 $b$ ，可见度为零。由此，可以求出光源的极限宽度（临界宽度）

$$b_{临}= 2 \dfrac{D\lambda}{2d} = \dfrac{D\lambda}{d}$$

当$2b<b_{临}$时，有干涉条纹

当$2b\geq b_{临}$时，干涉条纹消失，变成非相干叠加

补充其他双缝型干涉装置

空间中的两个相干点光源的干涉图样

从空间中两个点出射的光相干，则是球面波相干

两点光源的位置定义：

两相干点光源 $S_1$ 和 $S_2$ 位于 $z$ 轴上，其坐标分别为：

$$S_1 : (0, 0, d/2), \quad S_2 : (0, 0, -d/2)$$

两点光源的间距为 $d$。

空间中任意点 $P(x, y, z)$ 与光源的距离：

点 $P$ 到 $S_1$ 的距离：

$$r_1 = \sqrt{x^2 + y^2 + \left(z - \frac{d}{2}\right)^2}$$

点 $P$ 到 $S_2$ 的距离：

$$r_2 = \sqrt{x^2 + y^2 + \left(z + \frac{d}{2}\right)^2}$$

两点光源的光程差：

$$\delta = r_2 - r_1$$

相位差：

$$\Delta \varphi = \frac{2\pi}{\lambda} \delta$$

代入干涉强度公式，可以得到光强和位置的关系

$$I = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1 I_2} \cos \Delta \varphi$$

当光程差 $\delta = m\lambda$ 时（整数倍波长），干涉达到相长条件。

干涉图样的数学描述：

光程差为 $\delta = m\lambda$ 时：

$$r_2 - r_1 = m\lambda$$

将 $r_1$ 和 $r_2$ 带入上述公式，整理得到：

$$r_2^2 = \left(r_1 + m\lambda\right)^2$$

整理一下，得到

$$2dz = m^2 \lambda^2 + 2m\lambda r_1$$

化简后得出：

$$\frac{z^2}{m^2\lambda^2/4} - \frac{x^2 + y^2}{d^2 - m^2\lambda^2/4} = 1$$

这是一个标准的旋转双叶双曲面方程。

干涉图样特点：

• 三维空间中的干涉图样：连续的干涉相长点在空间中形成一系列旋转双叶双曲面。
• 屏幕上的条纹：若在平行于两光源连线的屏幕上观察，则屏幕上的图样为类似双缝干涉的线状条纹。

总结：

• 两个相干点光源在空间中形成旋转双叶双曲面干涉图样。
• 图样的特征由光源间距 $d$、波长 $\lambda$ 以及观察点的坐标共同决定。

菲涅尔双面镜

可以用类似双缝干涉的方法去分析，由于光源$S_1$，$S_2$均经过一次反射，都有半波损失，在光程差里面互相抵消了，所以光程差为

$$r_2 - r_1 \approx d sin\theta \approx d\dfrac{x}{L} \\ \delta = r_2 -r_1 = d \dfrac{x}{L}$$

干涉图样和双缝干涉是一样的

洛埃镜光程差

注意：洛埃镜涉及反射，有一个半波损失，光程差要加$\frac{\lambda}{2}$

也因此，洛埃镜和双缝干涉条纹的相位差相差$\pi$，眀纹暗纹位置完全相反，中心为暗纹

$$r_2 - r_1 \approx d sin\theta \approx d\dfrac{x}{L}\\ \delta = r_2 -r_1 + \dfrac{\lambda}{2} = d\dfrac{x}{L} + \dfrac{\lambda}{2}$$

菲涅尔双棱镜光程差

将此问题化归为双缝干涉处理

设菲涅尔双棱镜中的折射率为$n$，则偏向角为

$$\theta \approx (n-1) \alpha$$

等效光源（双缝）间距和等效光屏距离为

$$d = 2L_1 \sin \theta \approx 2L_1\theta = 2L_1(n-1) \alpha \\ L = L_1+L_2$$

然后就可以直接套用双缝干涉的结论了

$$\delta = \dfrac{xd}{L} = \dfrac{2xL_1(n-1)\alpha}{L_1+L_2} \\ \Delta x = \dfrac{Ld}{\lambda} = \dfrac{L_1+L_2}{2L_1(n-1)\alpha}$$

解题技巧

光程差的变化和条纹间距$\Delta x$变化的关系

题目经常有，改变了XX条件，导致条纹间距$\Delta x$变化了$\Delta(\Delta x)$的这种描述

我们需要根据条纹间距$\Delta x$变化了$\Delta(\Delta x)$这个结果推断出光程差变化了多少这个原因，才能进一步做题

直接用下面这个式子，不解释了

$$\dfrac{\Delta \delta}{\lambda}= \dfrac{\Delta(\Delta x)}{\Delta x} \\ \Delta \delta = \dfrac{\Delta(\Delta x)}{\Delta x}\lambda$$

17.3 薄膜干涉

薄膜的等倾干涉

薄膜的等倾干涉指的是点光源照射到表面平整，厚度均匀的薄膜上产生的干涉条纹。

对于厚度均匀的薄膜，扩展光源投射到薄膜上的光线的光程差，是随着光线的倾角（即入射角i）不同而变化的。

倾角相同的光线都有相同的光程差，因而属于同一级别的干涉条纹，这种干涉叫做等倾干涉。

薄膜等倾干涉的光程差计算

注意此处反射过程中的的半波损失：在第一界面的反射为被光疏媒质的反射，无位相突变。 在第二界面反射时为被光密介质的反射，有位相突变$\pi$（即半波损失）

也就是光线2、3间有附加位相差$\pi$，光程差要加$\dfrac{\lambda}{2}$

$$\delta = \sum_{2}n_ir_i - \sum_{1}n_i r_i + \dfrac{\lambda}{2} = n_2(\overline{ab}+\overline{bc})-n_1\overline{ad} + \dfrac{\lambda}{2} \\ \implies \delta = \dfrac{2en_2}{cos\gamma} - 2e \cdot tan\gamma sini \cdot n_1 + \dfrac{\lambda}{2} \\ \implies \delta = 2e \sqrt{n_2^2 -n_1^2sin^2i} + \dfrac{\lambda}{2}$$

薄膜等倾干涉图案分析

眀纹暗纹条件参见前面已经写过的通用的光程差与眀暗纹的关系，此处只进行简单分析

眀纹条件

$$\delta = 2e \sqrt{n_2^2 -n_1^2sin^2i} + \dfrac{\lambda}{2} = k\lambda \\ r = f \tan i$$

条纹级次分布

$e$ 一定时，

$$k \uparrow \to i \downarrow \to r \downarrow$$

• 条纹级次内高外低：内圆纹的级次比外圆纹的级次高

膜厚变化时条纹的移动

$k$ 一定时，

$$e \uparrow \to i \uparrow \to r \uparrow$$

$i$ 一定时，即 $r$ 一定时

$$e \uparrow \to k \uparrow$$

故有以下结论：

• 膜厚变化时，条纹发生移动，方向由内向外
• 当薄膜厚度增大时，圆纹从中心冒出，并向外扩张
• 条纹变密

波长对条纹的影响

$k,e$ 均一定时，

$$\lambda \uparrow \to i \downarrow \to r \downarrow$$

故有

• 波长长的光在内圈（半径小），波长短的光在外圈（半径大）
• 如果使用白光进行薄膜等倾干涉，可以看到红光在内圈，紫光在外圈

总结

等倾干涉条纹有以下特征：

• 等倾干涉图样为明暗相间圆形条纹，条纹形状为一系列同心圆环
• 条纹间距分布：内疏外密
• 条纹级次内高外低：内圆纹的级次比外圆纹的级次高
• 膜厚变化时，条纹发生移动。当薄膜厚度增大时，圆纹从中心冒出，并向外扩张，条纹变密

透射光的干涉

光程差计算

这里两次半波损失抵消

$$\delta_{45} = 2e \sqrt{n_2^2 -n_1^2sin^2i}$$

透射光干涉也是明暗相间圆形等倾条纹，形状为一系列同心圆环

不难发现

$$\delta_{45} = \delta_{23} - \dfrac{\lambda}{2}$$

可以得出结论：反射光明暗条纹与透射光的互补

点光源与面光源对等倾干涉的影响

1. 入射角相同的光线分布在锥面上，对应同一级干涉条纹，故条纹形状不变。
2. 面光源上不同点而入射角相同的入射光，都将汇聚在同一级干涉环上（非相干叠加），因而面光源照明比点光源照明条纹明暗对比更鲜明。
3. 比较：和双缝干涉不同，没有光源宽度和条纹可见度的矛盾：光源宽度增加（点光源→面光源）不会导致条纹可见度下降

薄膜等倾干涉的应用

增透膜

增透膜的原理是在折射率为$n$的玻璃基片上均匀镀上一层厚度为$d$，折射率为$n_c$的透明介质膜。当波长为$\lambda$的单色光由空气（折射率为$n_0$）垂直入射到介质膜表面上时，介质膜上、下表面的反射光在上表面相遇而发生干涉现象。如果正好是干涉极小，则无反射光。根据能量守恒定律，反射光减少，透射光就增强了，就起到了增透的效果。

假设增透膜是为了增强正入射光线，增透膜光学厚度为

$$2dn_c+\dfrac{\lambda}{2}=\dfrac{2k+1}{2}\lambda \\ \implies d = \dfrac{k\lambda}{2n_c} \quad k=1,2\cdots$$

若增透膜是为了增强入射角度为$i$的光线，那么情况变为

$$2d\sqrt{n_c^2 -n_0^2sin^2i} +\dfrac{\lambda}{2}=\dfrac{2k+1}{2}\lambda \\ \implies d =\dfrac{k \lambda}{2\sqrt{n_c^2 -n_0^2sin^2i}} \quad k=1,2\cdots$$

取$k = 1$，得增透膜的最小厚度

$$d_{min} = \dfrac{\lambda}{2n_c} \\ d_{min} =\dfrac{\lambda}{2\sqrt{n_c^2 -n_0^2sin^2i}}$$

增反膜（高反射膜）

和增透膜的原理是类似的，无非增透膜是介质膜上、下表面的反射光在上表面相遇时出现干涉极小，而增反膜希望两者出现干涉极大

容易计算增反膜的厚度及最小厚度（分别是正入射和入射角度为$i$的光线）

$$d = \dfrac{2k+1}{4}\dfrac{k\lambda}{n_c}\quad k=0,1,2\cdots \\ d = \dfrac{2k+1}{4} \dfrac{k \lambda}{\sqrt{n_c^2 -n_0^2sin^2i}} \quad k=0,1,2\cdots \\ d_{min} = \dfrac{\lambda}{4n_c} \\ d_{min} =\dfrac{\lambda}{4\sqrt{n_c^2 -n_0^2sin^2i}}$$

多层高反射膜

增反膜是可以叠加的，一层不够可以按照算出来的厚度多涂几层

如果真的考你多层膜计算，要记得哪些看清楚哪些面上的反射有半波损失，哪些面上没有！

在玻璃上交替镀上光学厚度均为$\dfrac{\lambda}{4}$的高折射率ZnS膜和低折射率的MgF2膜，形成多层高反射膜。

薄膜的等厚干涉

平行光照射到表面平整，厚度不均匀的薄膜上反射产生的干涉条纹，称为等厚干涉

一组平行光（即入射角$i$一定）投射到薄厚不均匀的薄膜上，其光程差随着厚度$e$而变化，厚度相同的区域，其光程差相同，因而这些区域就出现同一级的干涉条纹，故称为等厚干涉

劈尖干涉

劈尖是夹角很小的两个平面所夹的薄膜，夹角一般在

$$\theta: 10^{-5} \sim 10^{-4} rad$$

一般情况下只考虑对劈尖的平行光垂直入射

注意一次波疏到波密反射，有一个半波损失

可近似认为波程差

$$\delta = 2ne+\dfrac{\lambda}{2}$$

干涉明暗纹，用前面的通用方法判断就行，没啥好说的

条纹间厚度差值

$$\Delta e_k = \dfrac{\lambda}{2n}$$

条纹间距

$$l = \dfrac{\lambda}{2n sin\theta} \approx \dfrac{\lambda}{2n\theta}$$

直接给几个结论：

1. 干涉图样为明暗相间平行于棱边（劈尖）的等间距的直条纹
2. 条纹级次分布：厚度越大，级次越高
3. 由于存在半波损失，若劈尖处贴合，则劈尖处为0级暗条纹
4. $\theta$越小，间距$l$越大，条纹越稀；$\theta$越大，$l$越小， 条纹越密。当$\theta$大到某一值，条纹密不可分，无干涉
5. 当厚度变化时，干涉条纹会发生移动：薄膜增厚（劈尖上板向上移动），条纹向棱边移动；反之，则远离棱边。
6. 透射光干涉条纹的明暗位置与反射光情形刚好相反

劈尖干涉应用

1. 测微小直径、厚度，表面平整度，平行度：固定$\theta, \lambda, n$，通过看干涉条纹的图样可以知道厚度变化
2. 测波长：已知$\theta , n$，测$l$可得$\lambda$
3. 测折射率：已知$\theta,\lambda$，测$l$可得$n$

牛顿环

• 有没有半波损失，请按照题目给的折射率自行考虑！千万不要背结论乱用！
• 这边先按照有半波损失的情况计算

光程差为

$$\delta = 2ne+\dfrac{\lambda}{2}$$

有几何关系

$$r^2 = R^2 - (R-e)^2 = 2Re - e^2 \approx 2Re$$

故有以下近似几何关系

$$e = \dfrac{r^2}{2R} (approx.)$$

结论：

• 明环

  $$r_k = \sqrt{\dfrac{(2k-1)R\lambda}{2n}}$$

• 暗环

  $$r_k = \sqrt{\dfrac{kR\lambda}{n}}$$

  • 暗纹半径有以下关系

    $$r^2_{k+m} - r_k^2 = m \frac{R\lambda}{n}$$

条纹特点：

1. 形状：同心圆环
2. 条纹级次分布：半径越大，级次越高。圆心处为0级暗纹
3. 条纹间隔分布：内疏外密。半径越大，间距越小，推导如下

$r$ 对 $k$ 求导

$$\Delta r = \sqrt{\frac{R\lambda}{n}} \frac{\Delta k}{2\sqrt{k}}= \frac{R\lambda}{2n \sqrt{\frac{k R\lambda}{n}}} \Delta k = \dfrac{R\lambda}{2nr} \Delta k \\ \Delta k = 1 \implies \Delta r = \dfrac{R\lambda}{2nr} \\ \Delta r \propto \dfrac{1}{r}$$

迈克尔逊干涉仪

$M_1$与$M_2$严格垂直——等倾干涉

中心光程差

$$\delta = 2d$$

非中心光程差（入射角$i$）

对于薄膜等倾干涉，有光程差结论

$$\delta = 2e \sqrt{n_2^2 -n_1^2sin^2i} + \dfrac{\lambda}{2}$$

而在迈克尔孙干涉仪的等倾干涉中，这层薄膜是空气（虚空气膜），所以有$n_1 = n_1 = 1$，所以光程差为

$$\delta = 2d cosi$$

两相干光束在空间完全分开，并可用移动反射镜或在光路中加入介质片的方法，改变两光束的光程差。

$$k \uparrow \implies i \downarrow \implies r \downarrow \\ d \uparrow \implies k \uparrow$$

条纹从中央冒出(或缩进) $\Delta N$个条纹，M1平移的距离为

$$\Delta d = \dfrac{\lambda}{2} \Delta N$$

特点：

1. 条纹级次：内高外低，k自内向外依次递减
2. 内疏外密
3. $d$变化时，条纹发生移动。当$d$增大时，圆纹从中心冒出，并向外扩张，条纹变密。d每增大$\dfrac{\lambda}{2}$，就多冒出一个条纹

$M_1$与$M_2$不垂直——等厚干涉

类似于劈尖干涉

近似为

$$\delta = 2{d}$$

应用

1. 测量微小位移

   $$\Delta d = \dfrac{\lambda}{2} \Delta N$$

2. 测量波长

   $$\lambda = \dfrac{2 \Delta d}{\Delta N}$$

3. 测介质的折射率

   若在一条光路上放一长度为$l$，折射率为$n$的透明介质

   

   光程差变化为

   $$\Delta \delta = 2(n-1)l = \lambda \Delta N$$

偏振光的干涉

$P_1 ⊥ P_2$

振幅关系

$$A_O = A_1 sin \alpha \quad A_e = A_1 cos \alpha$$

若$P_1 ⊥ P_2$，则有

$$A_{2o} = A_1 sin \alpha \cdot cos \alpha \\ A_{2e} = A_1 cos \alpha \cdot sin \alpha$$

相位关系

o，e光相位差

$$\Delta \varphi = \dfrac{2 \pi}{\lambda} d \lvert n_o-n_e \rvert + \pi$$

o,e光的干涉

经P2出射的是两束振幅相等，振动方向相同，具有确定相位差的相干光，且它们在空间重合。因此这两束光将发生干涉。

o,e光光程差（设波片厚度为$d$）

$$\delta = \lvert n_o-n_e \rvert d + \dfrac{\lambda}{2}$$

• 干涉极大：光强极大位置，明纹

$$\delta = k\lambda = \lvert n_o-n_e \rvert d + \dfrac{\lambda}{2} \implies d = \dfrac{2k-1}{\lvert n_e - n_o \rvert} \dfrac{\lambda}{2} \quad k=1,2\cdots$$

• 干涉极小：光强极小位置，暗纹

  $$\delta = \dfrac{2k+1}{2}\lambda = \lvert n_o-n_e \rvert d + \dfrac{\lambda}{2} \implies d = \dfrac{k}{\lvert n_e - n_o \rvert} \lambda \quad k=0,1,2\cdots$$

$P_1 ∥ P_2$

相位差

$$\Delta \varphi = \dfrac{2 \pi}{\lambda} d \lvert n_o-n_e \rvert$$

o,e光光程差

设波片厚度为$d$

$$\delta = \lvert n_o-n_e \rvert d$$

• 干涉极大：光强极大位置，明纹

$$\delta = k\lambda = \lvert n_o-n_e \rvert d + \dfrac{\lambda}{2} \implies d = \dfrac{2k-1}{\lvert n_e - n_o \rvert} \dfrac{\lambda}{2} \quad k=1,2\cdots$$

• 干涉极小：光强极小位置，暗纹

  $$\delta = \dfrac{2k+1}{2}\lambda = \lvert n_o-n_e \rvert d + \dfrac{\lambda}{2} \implies d = \dfrac{k}{\lvert n_e - n_o \rvert} \lambda \quad k=0,1,2\cdots$$

17.4 夫琅禾费衍射

衍射分类

• 菲涅耳衍射：光源 S距衍射屏（小孔或狭缝）以及观察屏 P 距离衍射屏（小孔或狭缝等）都在有限远处（或观察屏 P在有限远处）

• 夫琅禾费衍射：光源S距衍射屏以及屏幕 P距衍射屏都为**“无限远”**。

单缝的夫琅禾费衍射

菲涅耳波带法/半波带法

• 透镜不会产生附加的光程差

最大光程差

$$\Delta = BC = a \sin \theta$$

半波带的概念

半波带法：图中 $\Delta =a \sin \theta = \frac{\lambda}{2}$ 时，AB就可以分成两个半波带，两个半波带之间干涉相消，得到暗纹

暗纹条件（准确）

推广以上的这种思路，当有偶数个半波带时，各个半波带之间会两两干涉相消，屏上得到的衍射结果就是暗纹中心，故暗纹条件为

$$a \sin \theta = \pm 2k \frac{\lambda}{2} \quad k = 1,2,3,\cdots$$

明纹条件（近似）

类似地，当波振面AB可分为奇数个半波带时，半波带之间也会两两干涉相消，最后剩下一个半波带中的衍射光线未被抵消，对应的屏上相聚点为明纹中心

$$a \sin \theta = \pm (2k+1) \frac{\lambda}{2} \quad k = 1,2,3,\cdots$$

另外，很容易想象中央$a \sin \theta = 0$处是中央明纹，并且一级暗纹之间都是明纹区域

除了明纹和暗纹之外，其他的就是过渡区域

• 以上所有结论都是一个近似的定性推导，严谨的定量推导需要用惠更斯-菲涅耳原理+球面积分得到，但是太复杂了，大雾不考具体推导的内容

积分推导

建议使用旋转矢量法（相量法）

$$E_p = |AB| = 2 \frac{E_0}{\beta} \sin \frac{\beta}{2}$$

两边平方得到

$$E_p^2 = E_0 \left(\frac{\sin \frac{\beta}{2}}{\frac{\beta}{2}}\right)^2$$

由于$I \propto E^2$，所以有

$$I = I_0 \left(\frac{\sin \frac{\beta}{2}}{\frac{\beta}{2}}\right)^2 \quad \beta = \frac{2\pi}{\lambda} a \sin \theta$$

结论（前面写这部分的时候 $\beta$ 定义有点不一样，懒得改了）：

$$I = I_0 (\dfrac{sin \beta}{\beta})^2 \\ \beta = \dfrac{\pi a sin \theta}{\lambda}$$

求导找极值

$$\dfrac{dI}{d \beta} = 0 \implies \begin{cases} sin \beta = 0 & 极小 \\ tan \beta = \beta & 极大 \end{cases}$$

衍射眀，暗纹位置的结论

1. 主极大（中央眀纹中心）

   $$\theta = 0 \implies \beta = 0 \implies I = I_0 = I_{max}$$

2. 极小（暗纹）位置（准确）

   $$sin \beta = 0 \implies \beta = \pm k \pi \quad k=1,2,3\cdots \\ \implies a \sin{\theta} = \pm k\lambda \approx a tan \theta = a \dfrac{x_k}{f} \approx a \theta$$

   由上面的推导，可得暗纹位置

   $$x_k = \pm \dfrac{f}{a} k \lambda \quad k=1,2,3\cdots$$

3. 高阶极大（眀纹）位置（近似）

   $$tan \beta = \beta \implies \beta \approx (2k+1)\dfrac{\pi}{2} \\ \implies a\sin{\theta} = (2k+1)\dfrac{\lambda}{2} \approx a \tan{\theta} = a\dfrac{x_k}{f} \approx a \theta$$

   可得高阶眀纹位置

   $$x_k = \pm \dfrac{f}{a} (2k+1) \dfrac{\lambda}{2} \quad k=1,2,3\cdots$$

衍射条纹宽度

中央眀纹宽度

易知中央条纹宽度即为第一级暗纹位置之差，故可得中央条纹线宽度和角宽度

$$\Delta \theta_0 = 2\theta_1 \approx 2 \dfrac{\lambda}{a} \\ \Delta x_0 = 2f\cdot tan \theta_1 \approx 2f \dfrac{\lambda}{a}$$

其他级眀纹

其他明纹宽度也用暗纹位置之差去算，是中央眀纹宽度的一半

$$a\dfrac{\Delta x_k}{f} \approx \lambda \\ \Delta x_k = f\dfrac{\lambda}{a} = \dfrac{1}{2} x_0 \\ \Delta \theta_k = \dfrac{\lambda}{a} = \dfrac{1}{2} \theta_0$$

平行光其他方式入射

应该不考，考的话出卷人🐎没了

$$asin \theta \rightarrow a(sin\theta + sin i) \\ \implies \beta = \dfrac{\pi a (sin \theta+sin i)}{\lambda}$$

单缝衍射特征总结

1. 缝位置变化不影响条纹位置分布
2. 暗纹和中央明纹位置精确，其它明纹位置只是近似
3. 中央亮纹集中大部分能量，中央明纹最亮，明条纹级次越高，亮度越弱，即亮度逐级下降。
4. 中央亮纹宽度是其他亮纹宽度的两倍；其他亮纹的宽度相同。
5. $\dfrac{\lambda}{a} \rightarrow 0 \quad \Delta \theta_0 \rightarrow 0$ : 波动光学退化到几何光学
6. $\dfrac{\lambda}{a} \rightarrow 1 \quad \Delta \theta_0 \rightarrow \pi$：观察屏上不出现暗纹
7. $\Delta \theta_0 = 2\theta_1 \approx 2 \dfrac{\lambda}{a}$：波长$\lambda$越长，缝宽$a$越小，条纹宽度越宽

另外，还有一下结论：

• 由于有透镜的存在，如将单缝位置作上下小距离移动，屏上衍射条纹不变

双缝衍射

需要考虑

• 两个缝的两套衍射条纹通过透镜重合

  $$I \propto \left( \frac{\sin \frac{\beta}{2}}{\frac{\beta}{2}} \right)^2 \quad \beta = \frac{2\pi}{\lambda} a \sin \theta$$

• 两个缝之间光线的干涉，前面已经推导过了

  $$I \propto \cos^2 \frac{\varphi}{2} \quad \varphi = \frac{2\pi}{\lambda} d \sin \theta$$

故总和效果为

$$I = I_0 \left( \frac{\sin \frac{\beta}{2}}{\frac{\beta}{2}} \right)^2 \cos^2 \frac{\pi d \sin \theta}{\lambda}$$

最后结果就是各双缝干涉受到单缝衍射的调制

缺极现象

当干涉极大遇到衍射极小的时候，出现缺极现象

17.5 圆孔衍射与光学仪器的分辨本领

圆孔的夫琅禾费衍射

理论计算，可得爱里斑对透镜中心的张角$\theta_1$与孔直径$D$和入射光$\lambda$的波长的关系为

$$D \cdot sin \theta_1 \approx D \theta_1 \approx 1.22 \lambda \\ \implies \theta_1 = \dfrac{1.22 \lambda}{D}$$

可以得出艾里斑半径为

$$r = f \tan \theta_1 \approx f \theta_1 = 1.22 \dfrac{\lambda f}{D}$$

光学仪器的分辨力

根据瑞利判据，最小可分辨张角即为艾里斑对透镜中心的张角

$$\delta \theta = \dfrac{1.22\lambda}{D}$$

最小可分辨点距即为艾里斑半径

$$d_{min} = f \cdot \delta \theta = 1.22 \dfrac{\lambda f}{D}$$

定义分辨本领为

$$R = \dfrac{1}{\delta \theta} = \dfrac{D}{1.22\lambda}$$

17.6 光栅衍射

概念

光栅

大量（N条）等宽等间距的平行狭缝(或反射面)构成的光学元件

种类：1.衍射光栅 2.反射光栅

此处主要讨论衍射光栅

光栅常数

$$d = a + b$$

$a$是透光（或反光）部分的宽度

$b$是不透光(或不反光)部分的宽度

多缝干涉

N缝光栅的衍射等效于单缝衍射+多缝干涉，下面先计算多缝干涉

多缝干涉的电场表达式为：

$$E = \sum_{n=0}^{N-1} A \cos \left[ \omega t - k r_0 + \varphi_0 + (n-1)\varphi \right]$$

将余弦形式转换为指数形式：

$$E = \sum_{n=0}^{N-1} A \exp \left\{ i \left[ \omega t - k r_0 + \varphi_0 + (n-1)\varphi \right] \right\}$$

提取公因子：

$$E = A \exp \left\{ i \left[ \omega t - k r_0 + \varphi_0 \right] \right\} \sum_{n=0}^{N-1} \exp \left[ i (n-1)\varphi \right]$$

将求和部分展开为几何级数：

$$\sum_{n=0}^{N-1} \exp \left[ i (n-1)\varphi \right] = \frac{1 - \exp(i N \varphi)}{1 - \exp(i \varphi)}$$

最终的电场为：

$$E = A \exp \left\{ i \left[ \omega t - k r_0 + \varphi_0 \right] \right\} \frac{1 - \exp(i N \varphi)}{1 - \exp(i \varphi)}$$

又

$$I = EE^*$$

所以有

$$I = I_0 \left(\frac{\sin^2 \frac{N\varphi}{2}}{\sin^2 \frac{\varphi}{2}}\right) = I_0 \left(\frac{\sin\frac{N\varphi}{2}}{\sin \frac{\varphi}{2}}\right)^2$$

其中

$$\varphi = \frac{2\pi}{\lambda} d \sin \theta$$

多缝干涉明纹（主极大）条件

$$d \sin \theta = \pm k \lambda \quad k=0,1,2,3\cdots$$

这个式子被称为光栅方程

• 满足光栅方程的明纹路称为主极大

• P 点为主极大时，所有缝在该点的光振动是同相的。

多缝干涉暗纹条件

$$\vec{A} = 0 \to \text{暗纹}$$

各点源发出的光的振幅矢量在P点形成封闭图形，合矢量为零。

有

$$N \varphi = \pm 2k' \pi$$

由 $\varphi$ 的值，可以得出结论

$$d \sin \theta = \pm \frac{k'}{N} \lambda \quad k' = 1,2,\cdots, k' \neq kN$$

如果$k' = kN$，那么回到主极大（明纹）的情况

多缝干涉次极大条件

• 相邻主极大间有N－1个暗纹，有N－2条明纹（次极大）

• 计算表明，次极大的光强仅为主极大的4%

• 当N很大时，次极大的强度很弱，通常无法观察到

光栅衍射光强结论（lsy版本，新）

类似于双缝衍射的情况，N 个缝的 N 套衍射条纹通过透镜后是重合的，故光强除了 N 套光线的干涉，还有每个缝内的光的衍射（相当于单缝衍射），多缝干涉的光强再乘以衍射因子，就得到光栅衍射的光强

$$I = I_0 \left(\frac{\sin\frac{N\varphi}{2}}{\sin \frac{\varphi}{2}}\right)^2 \left(\frac{\sin \frac{\beta}{2}}{\frac{\beta}{2}}\right)^2 \\ \varphi = \frac{2\pi}{\lambda} d \sin \theta \quad \beta = \frac{2\pi}{\lambda} a \sin \theta$$

光栅衍射的最终结果

各主极大受到单缝衍射的调制

主极大位置

$$d \sin \theta = \pm k \lambda \quad k=0,1,2,3\cdots$$

暗纹位置

$$d \sin \theta = \pm \frac{k'}{N} \lambda, \quad k' = 1, 2, \dots, \quad k' \neq kN$$

主极大半角宽

离主极大最近的两暗纹间距为

$$d (\sin \theta_{kN+1} - \sin \theta_{kN-1}) = \frac{kN+1}{N} \lambda - \frac{kN-1}{N} \lambda \\ \implies d \cos \theta_{k} \cdot 2\Delta \theta_{k} = \frac{2}{N} \lambda$$

从而主极大的半角宽为

$$\Delta \theta_k = \frac{\lambda}{N d \cos \theta_k}$$

可见光栅缝数目越多，主极大条纹越窄。

可见的最大级数

主极大的最高级数：由于 $sin \theta <1$，固有

$$\pm k < \dfrac{d}{\lambda} \implies \pm k_{\max} = \lceil \frac{d}{\lambda} - 1\rceil$$

• 可见的总级数为 $2 k_{\max} + 1$
• 如果题目问的是可见的总明条纹数量，还需要考虑缺级现象，减去所有缺级的级数！

缺级现象

**缺级现象：**由于单缝衍射的影响，在应该出现亮纹的地方，不再出现亮纹

缺级现象产生条件：多缝干涉的主极大与单缝衍射极小的角位置正好相同。

$$\begin{cases} d \sin\theta= \pm k \lambda & k=0,1,2\cdots & \text{干涉主极大} \\ a \sin{\theta} = \pm n \lambda & n=1,2,3\cdots & \text{衍射极小} \end{cases}$$

从而可以得出缺级现象的发生条件

$$\dfrac{d}{a}= \dfrac{k}{n} \implies k = \frac{d}{a} n$$

$k = \frac{d}{a} n$为整数，即$\frac{d}{a}$是整数比的时候，会发生缺级！

• 当出现一组满足缺级的情况时，一般称之为第 $k$ 级缺级
• 由于$d > a \implies \frac{d}{a} > 1$，所以一般有 $k > n$

光栅光谱

光栅衍射的基本公式为：

$$d \sin \theta = \pm k \lambda$$

分析：

• $k = 0$：对应 $\theta = 0$，与波长 $\lambda$ 无关， 所有颜色的光都会会聚到中央主极大中心位置，此处颜色不会分离，仍是白光。
• $k \neq 0$：当 $\lambda \downarrow \rightarrow \theta \downarrow$，$\lambda \uparrow \rightarrow \theta \uparrow$ （对于同一级）。

故白光经过衍射后，由于不同波长的光同级主极大的衍射角不同，不同颜色的光会分离，使得衍射光谱中呈现出不同颜色的条纹，例如：

• 红光 ($R$)：波长较长，衍射角较大。
• 紫光 ($V$)：波长较短，衍射角较小。

复色光通过光栅后，因不同波长的光衍射角不同，会形成不同颜色的光条纹分离的现象，这就是光栅光谱。

光栅分辨颜色的能力

由瑞利判据：波长为 $\lambda + \Delta \lambda$的 $k$ 级主极大恰好与波长为 $\lambda$ 的 $k$ 级主极大的边缘，即最临近极小重合，称为能分辨（的极值位置）

根据以上判据，可以写出

$$\begin{cases} d \sin \theta = k(\lambda + \Delta \lambda) \\ d \sin \theta = \frac{kN + 1}{N} \lambda \end{cases} \implies k\Delta \lambda = \frac{\lambda}{N}$$

从而得到

$$\Delta \lambda = \dfrac{\lambda}{kN}$$

由此定义光栅的颜色分辨能力为

$$R = \dfrac{\lambda}{\Delta \lambda} = kN \propto k,N$$

斜入射的光栅方程

$$d(\sin \theta - \sin i) = \pm k \lambda \quad k=0,1,2\cdots$$

分析：

1. 同侧

   $$k_{max} < \dfrac{d(1+\sin i)}{\lambda}$$

2. 异侧

   $$k_{max} < \dfrac{d(1-\sin i)}{\lambda}$$

3. $k_{max}$取满足这个两个式子的最大整数

4. 两者相加再+1是能看到的总主极大条纹数

5. 半角宽结论不影响，仍然适用！

X射线晶体衍射

分析时，可以把晶体直接看作反射光栅处理

两束平行光分别被原子A和B反射，光程差为

$$\delta = 2 d \sin \theta$$

其中$\theta$是掠射角（入射X射线角度），$d$为相邻反射原子层的间距，即反射晶面间距

布拉格公式

• 同一晶面上相邻原子散射的在反射方向上的光波光程差为零，相干加强，形成干涉极大，故反射方向强度最大

• 一组晶面，不同层之间的反射相干叠加。若要在反射方向上使得不同晶面的原子散射光相干加强，达到最大强度，需满足布拉格公式

• 其实就是晶面不同层之间的光程差满足干涉极大

$$\delta = 2 d \sin \theta = k \lambda \quad k=1,2,3 \cdots$$