Chapter4 角动量与自旋

Chapter 4

4-1 轨道角动量算符

定义

$$\begin{cases} \hat{L}_x = y\hat{p_z} - z \hat{p_y} \\ \hat{L}_y = z\hat{p_x} - x \hat{p_z} \\ \hat{L}_z = x\hat{p_y} - y \hat{p_x} \end{cases}$$

或者写成

$$\hat{L_j} = \epsilon_{jkl}\hat{x_k}\hat{p_l}$$

角动量算符是厄米算符，因为

1. 如果两个厄米算符对易,则两个厄米算符之积是厄米算符.
2. 厄米算符的和差依然为厄米算符。

对易关系

1. 角动量的各个分量之间是不对易的

$$[\hat{L_x},\hat{L_y}] = \hat{L_x}\hat{L_y}- \hat{L_y}\hat{L_x} \\ = i\hbar (x\hat{p_y} - y\hat{p_z}) = i\hbar \hat{L_z}$$

同理，

$$[\hat{L_y},\hat{L_z}] = i\hbar \hat{L_x} \\ [\hat{L_z},\hat{L_x}] = i\hbar \hat{L_y}$$

$$\implies \hat{L} \times \hat{L} = i\hbar\hat{L}$$

2. 角动量平方算符与其各分量之间是对易的

   $$[\hat{L}^2,\hat{L_x}] = [\hat{L_x}^2+\hat{L_y}^2+\hat{L_z}^2,\hat{L_x}] = [\hat{L_y}^2,\hat{L_x}] + [\hat{L_z}^2,\hat{L_x}] \\ =\hat{L_y}[\hat{L_y},\hat{L_x}] + [\hat{L_y},\hat{L_x}]\hat{L_y} + \hat{L_z}[\hat{L_z},\hat{L_x}] + [\hat{L_z},\hat{L_x}]\hat{L_z} \\ = i\hbar(-\hat{L_y}\hat{L_z}-\hat{L_z}\hat{L_y}+\hat{L_z}\hat{L_y}+\hat{L_y}\hat{L_z}) = 0$$

   $$[\hat{L}^2,\hat{L_y}] = 0 \\ [\hat{L}^2,\hat{L_z}] = 0$$

   合并后可以得到

   $$[\hat{L}^2,\hat{\vec{L}}] = 0$$

3. 角动量与坐标算符对易关系

   $$ [\hat{L_i},\hat{x_i}] = 0 \quad [\hat{L_i},\hat{x_j}] = i\hbar \epsilon_{ijk} \hat{x_k} $$

4. 角动量与动量算符对易关系

   $$[\hat{L_i},\hat{p_i}] = 0 \quad [\hat{L_i},\hat{p_j}] = i\hbar \epsilon_{ijk} \hat{p_k}$$

5. 其他关系

   $$[\hat{L_i},\hat{p}^2] = 0$$

球坐标表示

$$\hat{L}_z = -i\hbar \dfrac{\partial}{\partial \varphi} \\ \hat{L}^2 = \hat{L_x}^2 + \hat{L_y}^2 + \hat{L_z}^2 = -\hbar^2[\dfrac{1}{\sin\theta}\dfrac{\partial}{\partial \theta}(\sin \theta \dfrac{\partial}{\partial \theta}) + \dfrac{1}{\sin^2 \theta}\dfrac{\partial^2}{\partial \varphi^2}]$$

注意：知道$\hat{L}^2$与$r$无关即可！

本征值与本征函数

角动量z分量$L_z$​​的本征值与本征函数

需要在球坐标下求解

$$\hat{L}_z = -i\hbar \dfrac{\partial}{\partial \varphi}$$

本征方程

$$\hat{L_z} \psi = \lambda \psi \implies \psi = A e^{\frac{i}{\hbar} \lambda \varphi}$$

由连续性条件

$$\psi(0) = \psi(2\pi)$$

本征值

$$\lambda = m \hbar, m = 0,\pm 1,\pm 2,\cdots$$

m称为磁量子数

$\hat{L_z}$的本征值确定了角动量和z方向的夹角$\theta$的方向。

可见，微观系统的角动量在z方向的分量只能取分离值(零或$\hbar$​的整数倍)。所以角动量在空间任意方向的投影是量子化的。

本征函数为

$$\psi_m(\varphi) = A e^{im\varphi}$$

由归一化条件

$$\int_0^{2\pi}\lvert \psi_m(\varphi) \rvert^2 d\varphi = A^2 \int_{0}^{2\pi} d\varphi = 2\pi A^2 = 1 \\ \implies A=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}$$

可得归一化本征函数

$$\psi_m(\varphi) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{im\varphi}, m = 0,\pm 1,\pm 2,\cdots$$

角动量的平方$\hat{L}^2$​的本征值与本征函数

本征方程

$$\hat{L^2}Y(\theta,\varphi) = L^2Y(\theta,\varphi) = \lambda \hbar^2Y(\theta,\varphi)$$

代入角动量平方算符，可以得到一个球谐函数方程，其中$Y(\theta,\varphi)$就是$\hat{L^2}$属于本征值$\lambda \hbar^2$的本征函数

$$[\dfrac{1}{\sin\theta}\dfrac{\partial}{\partial \theta}(\sin \theta \dfrac{\partial}{\partial \theta}) + \dfrac{1}{\sin^2 \theta}\dfrac{\partial^2}{\partial \varphi^2}] Y(\theta,\varphi) + \lambda Y(\theta,\varphi) = 0$$

该方程可以分离变量法求解（过程略），最终得到本征函数

$$Y_{lm}(\theta,\varphi) = \Theta(\theta)\psi_m(\varphi)$$

其中

$$\Theta(\theta) = (-1)^m\sqrt{\dfrac{2l+1}{2}\dfrac{(l-m)!}{(l+m)!}}P_l^m(cos \theta) \\ \psi_m(\varphi) = \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{im\varphi}, m = 0,\pm 1,\cdots,\pm l$$

注：

$$P_l^m(cos \theta) \quad \lvert m \rvert \leq l$$

为m阶l次连带勒让德函数

本征函数全部写开如下：

$$Y_{lm}(\theta,\varphi) = (-1)^m\sqrt{\dfrac{2l+1}{4\pi}\dfrac{(l-m)!}{(l+m)!}}P_l^m(cos \theta) e^{im\varphi}$$

本征值为

$$\lambda \hbar^2 = l(l+1) \hbar^2 \quad l=0,1,2,\cdots$$

其中$l$称为角量子数

$\hat{L^2}$的本征值确定了角动量的大小

总结

$$ \hat{L_z} Y_{lm} = m\hbar Y_{lm} \\ \hat{L^2} Y_{lm} = l(l+1)\hbar^2 Y_{lm} \\ l = 0,1,2\cdots \quad m = 0,\pm 1,\pm 2\cdots, \pm l $$

1. 球谐函数系$Y_{lm}$是$L_z$和$L^2$共同的本征函数

2. $L_z$和$L^2$的本征值是有关联的：$l$和$m$需满足一定关系

   $$L^2 = l(l+1)\hbar^2 \\ L_z = m \hbar \\ l = 0,1,2\cdots \quad m = 0,\pm 1,\pm 2\cdots, \pm l \quad(\lvert m \rvert \leq l)$$

3. 角动量的本征值为

   $$L = \sqrt{l(l+1)}\hbar$$

4. 角动量$\hat{L^2}$的本征值是$2l+1$度简并的：属于本征值$l(l+1)\hbar^2$的线性独立本征函数$Y_{lm}(\theta,\varphi)$共有$2l+1$个，因为对于同一个$l$，m可以取$0,\pm1,\cdots,\pm l$共$2l+1$个值

4-2 自旋

电子自旋假设

• 每个电子都具有自旋角动量，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值

• 每个电子都具有自旋磁矩，它与自旋角动量有如下关系

  $$\vec{M_s} = \dfrac{-e}{m_e}\vec{S}$$

自旋算符

自旋角动量也由一个算符描写，记为$\hat{\vec{S}}$​

自旋角动量是一个假设，满足如下结论：

$$\hat{S} \times \hat{S} = i \hbar \hat{S} \\ [\hat{S_x},\hat{S_y}] = i\hbar \hat{S_z} \\ [\hat{S_y},\hat{S_z}] = i\hbar \hat{S_x} \\ [\hat{S_z},\hat{S_x}] = i\hbar \hat{S_y}$$

由于自旋角动量在空间任意方向上的投影只能取$\pm \dfrac{\hbar}{2}$两个值，所以$\hat{S_x} \hat{S_y} \hat{S_z}$的本征值都是$\pm \dfrac{\hbar}{2}$，其平方为$(\dfrac{\hbar}{2})^2$

从而可以推出自旋角动量平方的本征值

$$S^2 = s(s+1) \hbar^2 = \dfrac{3}{4} \hbar^2 \\ S_z = m_s \hbar = \pm \dfrac{1}{2}\hbar$$

s为自旋量子数只有一个数值$s = \dfrac{1}{2}$​

$m_s$为自旋磁量子数$m_s = \pm \dfrac{1}{2}$​

自旋角动量大小

$$S = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \hbar$$

含自旋状态的波函数

$$\Psi = \Psi (x,y,z,S_z,t)$$

含自旋状态的波函数写成列矩阵

$$\Phi(\vec{r},S_z,t) = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix}$$

Pauli算符

令$\hat{\vec{S}} = \dfrac{\hbar}{2} \hat{\vec{\sigma}}$

$$\begin{cases} S_x = \dfrac{\hbar}{2} \sigma_x \\ S_y = \dfrac{\hbar}{2} \sigma_y \\ S_z = \dfrac{\hbar}{2} \sigma_z \end{cases}$$

对易关系

$$\hat{S} \times \hat{S} = i \hbar \hat{S} \implies \hat{\vec{\sigma}} \times \hat{\vec{\sigma}} = 2i \hat{\vec{\sigma}}$$

分量形式

$$[\hat{\sigma_x},\hat{\sigma_y}] = 2i \hat{\sigma_z} \\ [\hat{\sigma_y},\hat{\sigma_z}] = 2i \hat{\sigma_x} \\ [\hat{\sigma_z},\hat{\sigma_x}] = 2i \hat{\sigma_y}$$

$\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z$的本征值都是$\pm 1$

$\sigma^2_x,\sigma^2_y,\sigma^2_z$的本征值都是1，即$\sigma_x^2 = \sigma_y^2 = \sigma_z^2 = 1$

反对易关系

$$\hat{\sigma_x}\hat{\sigma_y} + \hat{\sigma_y} \hat{\sigma_x} = 0 \quad or \quad \hat{\sigma_x}\hat{\sigma_y} = -\hat{\sigma_y} \hat{\sigma_x}$$

由此还可以得出如下的有用性质

$$\hat{\sigma_x}\hat{\sigma_y} = -\hat{\sigma_y} \hat{\sigma_x} = i \hat{\sigma_z}$$

pauli算符的矩阵形式

在$S_z$表象下，自旋算符可以表示为

$$\sigma_x = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \quad \sigma_y = \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix} \quad \sigma_z = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \\ S_x = \dfrac{\hbar}{2}\sigma_x = \dfrac{\hbar}{2}\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \\ S_y = \dfrac{\hbar}{2}\sigma_y = \dfrac{\hbar}{2}\begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix} \\ S_z = \dfrac{\hbar}{2}\sigma_z = \dfrac{\hbar}{2}\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$$

自旋波函数

通常自旋和轨道运动之间是有相互作用的,所以电子的自旋状态对轨道运动有影响。但是,当这种相互作用很小时,可以将其忽略，也就是可以对波函数进行分离变量

$$\phi(\vec{r},S_z,t) = \psi(\vec{r},t) \chi(S_z)$$

其中$\chi(S_z)$是$\hat{S_z}$的本征函数，称为自旋波函数

总结

例题

1. 电子自旋z分量是$\dfrac{\hbar}{1}$，求沿着与z轴成$\theta$角的$z'$方向，自旋分量为$\dfrac{\hbar}{2}$或$-\dfrac{\hbar}{2}$的概率？

在$S_z$表象下，自旋算符沿三个轴的分量表示为

设转轴沿y轴正向，则自旋算符沿z’轴的分量为

$$S_{z'} = S_z cos \theta + S_x sin \theta = \dfrac{\hbar}{2}\begin{bmatrix} cos \theta & sin \theta \\ sin \theta & -cos \theta \end{bmatrix}$$