Chapter5 一维定态问题

5-1 薛定谔方程一般性质

定态薛定谔方程

$$[- \dfrac{\hbar^2}{2m} \dfrac{d^2}{dx^2} + U(x)] \psi(x) = E \psi(x)$$

宇称

定义空间反演算符$\hat{P}$为

$$\hat{P}\psi(x) = \psi(-x)$$

如果波函数满足以下性质

$$\hat{P}\psi(x) = \psi(-x) = + \psi(x)$$

称波函数满足偶宇称

$$\hat{P}\psi(x) = \psi(-x) = - \psi(x)$$

称波函数满足奇宇称

没有以上性质，则波函数没有确定的宇称

对称势场与宇称

在一维势场中运动的粒子，若势能关于原点对称$U(-x) = U(x)$，则能量本征波函数具有确定的宇称。（证明过程如下）

例题

定态薛定谔方程一般性质

1. 本征值E为实数
2. 如果势函数$U(x)$关于原点对称（反射不变性），若$\psi(x)$是能量本征方程属于能量本征值E的解，则$\psi(-x)$​也是该方程怪同一能量本征值E的解

推论：当势函数$U(x)$具有反射不变性时，

1. 对于无简并的能级，定态波函数必有确定的宇称
2. 若能级有简并，则总能找到一组简并的定态波函数，其中每一个波函数都有确定的宇称

一维无限深势阱

推导过程

Step1:写出无限深势阱中的粒子的势函数

势函数

$$U(x) = 0 \quad (0<x<a) \\ U(x) = \infty \quad (x \leq 0, x \geq a)$$

Step2:写出定态薛定谔方程

哈密顿量

$$\hat{H} = - \dfrac{\hbar^2}{2m} \dfrac{d^2}{dx^2} + U(x)$$

定态薛定谔方程

$$\hat{H} \Phi(x) = E \Phi(x)$$

该方程的解

$$\Psi (x,t) = \Phi(x) e^{-\frac{i}{h}Et}$$

Step3:引入k，非别写出阱内和阱外的薛定谔方程

考虑阱内

$$- \dfrac{h^2}{2m} \dfrac{d^2}{dx^2} \Phi(x) = E \Phi(x)$$

令

$$k^2 = \dfrac{2mE}{\hbar^2}$$

有

$$E = \dfrac{(\hbar k)^2}{2m} \quad p = \hbar k \quad k = \dfrac{2\pi}{\lambda}$$

得

$$\Phi''(x) + k^2 \Phi(x) = 0$$

考虑阱外

$$(- \dfrac{h^2}{2m} \dfrac{d^2}{dx^2} + \infty) \Phi(x) = E \Phi(x)$$

Step4: 分区求通解

阱内的解

$$\Phi(x) = A \cos kx + B \sin kx, 0 \leq x \leq L$$

其中A和B为待定常数

阱外的解

$$\Phi(x) = 0$$

Step5:由波函数单值，连续及归一化条件定特解

阱外波函数为0，波函数要连续，所以波函数0点处，a点处的值为0

$$\Phi(0) = 0 \implies A = 0 \implies \Phi(x) = B \sin kx$$

$$\Phi(a) = 0 \implies \sin ka = 0 \quad (B \neq 0) \\ \implies ka =n \pi \quad (B \neq 0) \implies k = \dfrac{n \pi}{a}, n=1,2,3,\cdots$$

利用归一化条件

$$\int_0^a \lvert \Psi(x,t) \rvert^2 dx = \int_0^a \lvert \Phi(x) \rvert^2 dx = \int_0^a B^2 \sin^2 \dfrac{n \pi x}{a} dx =\int_0^a B^2\dfrac{1-\cos \dfrac{2n\pi x}{a}}{2}dx = 1$$

$$\implies \dfrac{a}{2}B^2 = 1 \implies B = \sqrt{\dfrac{2}{a}}$$

结论

定态波函数为

$$\Phi(x) = \begin{cases} \sqrt{\dfrac{2}{a}} \sin \dfrac{n \pi}{a}x & 0 \leq x \leq a \\ 0 & x<0,x>a \end{cases}$$

粒子分布的概率密度为

$$\rho(x) = \lvert \Phi(x) \rvert^2 = \begin{cases} \dfrac{2}{a} \sin^2 (\dfrac{n \pi}{a}x) & 0 \leq x \leq a \\ 0 & x<0,x>a \end{cases}$$

根据

$$k^2 = \dfrac{2mE}{\hbar^2} \quad k=\dfrac{n \pi}{a}$$

可得能量本征值，动量和波长

$$E_n = \dfrac{\pi^2 \hbar^2}{2ma^2} n^2 = n^2 E_1 \quad n=1,2,3\cdots \\ p_n = \pm \sqrt{2m E_n} = \pm n\dfrac{\pi \hbar}{a} = \pm n \dfrac{h}{2a} \\ \lambda_n = \dfrac{h}{\lvert p_n \rvert} = \dfrac{2a}{n}$$

1. 能量取分立值（能级），即能量量子化

   $$E_n \propto n^2 \quad \Delta E = E_{n+1} - E_n = (2n+1) \dfrac{\pi^2 \hbar^2}{2ma^2} = (2n+1)E_1$$

   $$\implies n \uparrow \Delta E \uparrow \quad L \uparrow \Delta E \downarrow \quad m \uparrow \Delta E \downarrow$$

   • 能级增大 , 能级间隔递增
   • 阱变宽，能级间隔下降
   • 大质量粒子的能级间隔小

2. 当$a \to \infty$时，量子化变成了连续

3. 最低能量（零点能）

   $$E_1 = \dfrac{\pi^2 \hbar^2}{2ma^2} > 0$$

   粒子不可能静止，波动性

4. 阱中形成驻波

   $$\Psi (x,t) = \Phi(x) e^{-\frac{i}{\hbar}Et} = \dfrac{1}{2i} \sqrt{\dfrac{2}{a}}(e^{ikx} - e^{-ikx}) e^{-\frac{i}{\hbar}Et}$$

   又由前面的结论可推出$k = \dfrac{p}{\hbar}$

   故波函数

   $$\Psi (x,t) = \dfrac{1}{2i} \sqrt{\dfrac{2}{a}}(e^{i\frac{p_n}{\hbar}x} - e^{-i\frac{p_n}{\hbar}x}) e^{-\frac{i}{\hbar}Et} = \dfrac{1}{2i} \sqrt{\dfrac{2}{a}}(e^{-\frac{i}{\hbar}(Et-p_nx)} - e^{-\frac{i}{\hbar}(Et+p_nx)})$$

   • 波函数为频率相同、波长相同、传播方向相反的两单色平面波的叠加

   • 波函数为驻波形式，阱壁处为波节，波腹的个数（最可几位置个数）与量子数n相等。

     • 由此结论可以很容易画出势阱内波函数的图像（如下图）

   • 最可几位置的求法：

     • 找极值，先求导找导数为0的点
     • 然后可以代入波函数，排除掉所有代入以后得到波函数为0的点
     • 也可以画出图像，结合图像中的相对位置判断。

   • 波节（节点）个数：

     • 基态除$x = 0,x=L$以外无节点
     • 第k激发态除$x = 0,x=L$以外有$k = n-1$个节点

   

一维无限深势阱中粒子波函数是正交归一的

1. 不同本征值的波函数彼此正交（证明如图）

   

2. 本征波函数构成完备集，即任意波函数可表示为

   $$\Psi(x) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \Phi_n(x) = \sqrt{\dfrac{2}{a}} \sum_{n=1}^{\infty} c_n sin(\dfrac{n\pi}{a}x) \\ c_n = \sqrt{\dfrac{2}{a}} \int_0^a sin(\dfrac{n\pi}{a}x) \Psi(x) dx$$

将解扩展到一般波函数

$$\Psi(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \Psi_n(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} c_n \Phi_n(x)e^{-\frac{i}{\hbar}E_nt} \\ = \sqrt{\dfrac{2}{a}} \sum_{n} c_n sin(\dfrac{n\pi}{a}x)e^{-\frac{i}{\hbar}E_nt}$$

其中

$$c_n = \int \Phi_n^*(\vec{r})\Psi(x,0) dx$$

一维有限深势阱

Step1:写出势函数

$$V(x) = \begin{cases} V_0 & \lvert x \rvert > a \\ 0 & \lvert x \rvert < a \end{cases}$$

Step2:写出定态薛定谔方程

$$\dfrac{d^2 \psi}{dx^2} + \dfrac{2mE}{\hbar^2} \psi = 0 ,\quad \lvert x \rvert < a \\ \dfrac{d^2 \psi}{dx^2} + \dfrac{2m}{\hbar^2}(E - V_0)\psi = 0 , \quad \lvert x \rvert > a$$

Step3：引入k和k’,写出阱内和阱外情况

$$set \, k^2 = \dfrac{2mE}{\hbar^2} \quad k'^2 = \dfrac{2m(U_0 - E)}{\hbar^2} \\ \begin{cases} \psi'' + k^2 \psi_2 = 0 & \lvert x \rvert < a \\ \psi'' - \alpha^2 \psi = 0 & \lvert x \rvert > a \end{cases}$$

Step4: 分区求通解

$$\psi(x) = \begin{cases} A sin(kx+\delta) & \lvert x \rvert < a & (\Psi_2) \\ B e^{ -k' x} + C e^{k' x} & \lvert x \rvert > a & (\Psi_{1,3}) \end{cases}$$

Step5:通过束缚态、连续及归一化条件，求系数

对于束缚态，无穷远处粒子出现的概率为0，波函数为0，故

$$\Psi_1(-\infty) = 0\quad \Psi_3(+\infty) = 0 \\ \implies \begin{cases} \Psi_3 = Be^{-k'x} & x>a \\ \Psi_1 = Ce^{k'x} & x<-a \end{cases}$$

由$x=a$​​处波函数及其导数连续可得

$$\begin{cases} A \sin (ka+ \delta) = Be^{-k'a} \\ kA \cos (ka+ \delta) = -k'Be^{-k'a} \end{cases} \implies k\cot(ka+\delta) = -k'$$

由$x=-a$处波函数及其导数连续可得

$$\begin{cases} A \sin (-ka+ \delta) = Ce^{-k'a} \\ kA \cos (-ka+ \delta) = -k'Ce^{-k'a} \end{cases} \implies k\cot(-ka+\delta) = k'$$

由以上两个式子，可以得到

$$\cot(ka+\delta) = -\cot(-ka + \delta) \implies \delta = \begin{cases} n \pi \\ (n+\dfrac{1}{2}) \pi \end{cases}$$

只取$n=0$即可，其他n值并不会产生新结果

$$\delta = 0 \, or \, \dfrac{\pi}{2}$$

1. 取$\delta = 0$

   由$x=a$和$x=-a$处的连续性条件，可推出$B = -C$​

   $$\psi_A(x) = \begin{cases} A sin(kx) & \lvert x \rvert < a \\ B e^{ -k' x} & x > a \\ - B e^{k' x} & x < -a \end{cases}$$

   满足奇宇称

   $$\psi_A(-x) = - \psi_A(x)$$

2. 取$\delta = \dfrac{\pi}{2}$

   $$\psi_S(x) = \begin{cases} A sin(kx) & \lvert x \rvert < a \\ B e^{ -k' x} & x > a \\ - B e^{k' x} & x < -a \end{cases}$$

   满足偶宇称

   $$\psi_S(-x) = \psi_S(x)$$

能量本征值

1. 奇宇称($\delta = 0$)

   方程

   $$k \cot ka = - k'$$

   本征值可由该方程解出，但是该方程没有解析解，可用作图法求出数值解

   令

   $$u = ka , v=k'a$$

   以上方程可以化为

   $$u \cot u = -v \\ u^2 + v^2 = (k^2 + k'^2) a^2 = \dfrac{2mV_0}{\hbar^2}a^2$$

   方程的解即为这两个曲线的交点

​ 能量本征值

$$u = ka = \sqrt{2mE}\dfrac{a}{\hbar} \implies E = \dfrac{\hbar^2 u^2}{2ma^2}$$

2. 偶宇称

   $$k \tan ka = k'$$

   本征值可由该方程解出，但是该方程没有解析解，可用作图法求出数值解

   令

   $$u = ka , v=k'a$$

   以上方程可以化为

   $$u \tan u = v \\ u^2 + v^2 = (k^2 + k'^2) a^2 = \dfrac{2mV_0}{\hbar^2}a^2$$

   方程的解即为这两个曲线的交点

   

   能量本征值

   $$u = ka = \sqrt{2mE}\dfrac{a}{\hbar} \implies E = \dfrac{\hbar^2 u^2}{2ma^2}$$

数学工具

$$\sinh x = \dfrac{e^{x} - e^{-x}}{2} \quad \cosh x = \dfrac{e^x + e^{-x}}{2}$$

一维方势垒

势函数

$$U(x) = \begin{cases} 0 & x<0 \\ U_0 & x>0 \end{cases} \quad(E<U_0)$$

定态薛定谔方程

$$\begin{cases} -\dfrac{\hbar^2}{2m} \dfrac{d^2 \psi}{dx^2} = E\psi & I,III \\ -\dfrac{\hbar^2}{2m} \dfrac{d^2 \psi}{dx^2} + U_0 \psi = E\psi & II \end{cases}$$

设k值，分区列方程

$$set \, k_1^2 = \dfrac{2mE}{\hbar^2} \quad k_2^2 = \dfrac{2m(U_0-E)}{\hbar^2} > 0$$

$$\begin{cases} \dfrac{d^2 \psi}{dx^2} + k_1^2 \psi = 0 & I,III \\ \dfrac{d^2 \psi}{dx^2} - k_2^2 \psi = 0 & II \end{cases}$$

分区求通解

$$\begin{cases} \Phi_1(x) = A_1e^{ik_1x} + B_1e^{-ik_1x}\\ \Phi_2(x) = A_2e^{ik_2x} + B_2e^{-ik_2x} \\ \Phi_3(x) = A_3e^{ik_1x} \end{cases}$$

• $\Phi_1(x)$两项分别代表入射波和反射波
• $\Phi_2(x)$为势垒中的衰减波
• $\Phi_3(x)$由于III区域只有透射波，不会有反射波，所以只有一项

代入连续性，得到一些结论（没有定解）

概率流密度

使用概率流公式

$$\vec{j} = \dfrac{i\hbar}{2m}(\Psi^* \dfrac{\partial}{\partial x} \Psi - \Psi \dfrac{\partial}{\partial x}\Psi^*) \\ \implies \begin{cases} j = \dfrac{\hbar k_1}{m}\lvert A_1 \rvert^2 & \text{入射概率流密度}\\ j_{T} = \dfrac{\hbar k_1}{m}\lvert A_3 \rvert^2 & \text{透射概率流密度}\\ j_{R} = - \dfrac{\hbar k_1}{m}\lvert B_1 \rvert^2 & \text{反射概率流密度} \end{cases}$$

给个中间结论

$$\vec{j} = \dfrac{\hbar k_1}{m} \lvert A \rvert^2$$

透射系数和反射系数

为了定量描述入射粒子透射势垒的概率和被势垒反射的概率，定义透射系数和反射系数。

一些讨论：

• 显然粒子数守恒，并且可以进一步推出概率守恒

  $$T + R = 1 \implies \lvert B_1 \rvert^2 + \lvert A_3^2 \rvert = \lvert A_1 \rvert^2$$

• 即使$E > U_0$，粒子也并非全部透射进入iii区，仍然一定概率被反射回i区

• $E < U_0$时，仍然有$T \neq 0$​，说明虽然粒子总能量小于势垒高度, 入射粒子仍可能穿过势垒进入 III 区，这就是隧道效应

一维谐振子（抛物线势阱）

$$\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}}$$

定态薛定谔方程

$$(-\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{d^2}{dx^2} + \dfrac{1}{2}m\omega^2x^2)\Phi(x) = E \Phi(x)$$

结论

这东西反正不可能考你怎么去解的，记一些结论就好

谐振子能量（本征值）

$$E_n = (n+\dfrac{1}{2})\hbar \omega,n=0,1,2,\cdots$$

• 能量间隔是均匀的

  $$\Delta E_n = \hbar \omega$$

• 最低能量（零点能）不为零

  $$E_0 = \dfrac{1}{2} \hbar \omega \neq 0$$

谐振子波函数（本征函数）

• 谐振子的波函数也是正交归一的

• 处在特定状态时，量子粒子位置概率密度

  $$\rho = \lvert \Phi_n(x) \rvert^2$$

可能出现的问题

• 势能的平均值求法

  $$\overline{U} = \dfrac{1}{2}m\omega^2\overline{x^2}$$

• 动能的平均值求法

  • 和前面用过无数次的力学量平均值求法是一样的

• 在经典界限外被发现的概率

  • 经典界限：$\Phi_n(x)$对应的态对应的经典界限$a$的位置为

    $$E_n = (n+\dfrac{1}{2})\hbar \omega = \dfrac{1}{2}m\omega^2 a^2 \\ \implies a = \sqrt{\dfrac{(2n+1)\hbar}{m\omega}}$$

  • 求概率：常规操作

    • 反过来求（求界限内的概率）方便一点
    • 对在界限内的$\lvert \Phi_n(x) \rvert^2$积分就好，

    $$1-\int_{-a}^{a} \lvert \Phi_n(x) \rvert^2 dx$$