Rookie's blog

Chapter6 全同粒子与氢原子

Chapter6

全同粒子

费米子

  • 费米子是自旋s为半整数的粒子
  • 全同费米系统的波函数对于任意一对粒子交换而言改变符号,是反对称的

泡利不相容原理

不能有两个全同费米子处于同一单粒子态

玻色子

  • 玻色子是自旋s为0或整数的粒子

  • 玻色子不受泡利不相容原理的限制，一个单粒子态可容纳多个玻色子—玻色凝聚

氢原子量子理论

势函数

U(r)=−e24πϵ0rU(r) = -\dfrac{e^2}{4\pi \epsilon_0 r}

定态薛定谔方程

[−ℏ22m∇2−e24πϵ0r]Φ=EΦ[- \dfrac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 - \dfrac{e^2}{4\pi \epsilon_0 r}] \Phi = E \Phi

注：球坐标下的梯度算符为

∇2=1r2∂∂r(r2∂∂r)+1r2sin⁡θ∂∂θ(sin⁡θ∂∂θ)+1r2sin⁡2θ∂2∂ϕ2\nabla^2 = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{\partial}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta \frac{\partial}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \frac{\partial^2}{\partial \phi^2}

结论

能量（本征值）

与Bohr理论相同

En=−me42ℏ2(4πϵ02)1n2=−13.61n2(eV)=1n2E1E_n = - \dfrac{me^4}{2\hbar^2(4\pi \epsilon_0^2)}\dfrac{1}{n^2} = -13.6 \dfrac{1}{n^2} (eV) = \dfrac{1}{n^2} E_1

角动量（本征值）

与Bohr理论L=nℏL = n\hbar不同

L=l(l+1)ℏL = \sqrt{l(l+1)} \hbar

角动量z轴投影（本征值）

  • z轴投影常为外磁场方向）
  • 角动量z轴投影表明了角动量的空间取向是量子化的，即角动量的空间量子化
  • Bohr理论里没有的东西
  • 可以用来解释Zeeman效应：外磁场中氢原子的谱线分裂

Lz=mlℏL_z = m_l \hbar

波函数（本征函数）

Φnlml(r,θ φ)=Rnl(r)Ylml(θ,φ)\Phi_{nlm_l}(r,\theta\,\varphi) = R_{nl}(r)Y_{lm_l}(\theta,\varphi)

各种量子数

主量子数nn

n=1,2,⋯n = 1,2,\cdots

轨道量子数ll

l=0,1,2,⋯ ,n−1l = 0,1,2,\cdots , n-1

磁量子数mlm_l

ml=0,±1,±2⋯ ,±lm_l = 0,\pm1,\pm2 \cdots,\pm l

扩展到一般波函数

ψ(t)=∑nlmlCnlmle−iℏEntΦnlml(r,θ φ)\psi(t) = \sum_{nlm_l} C_{nlm_l} e^{-\frac{i}{\hbar}E_nt} \Phi_{nlm_l}(r,\theta\,\varphi)

归一化条件

有些题目为了坑你会给你没归一化的波函数，一定要先检查一下归一化条件

∑nlml∣Cnlml∣2=1\sum_{nlm_l} \lvert C_{nlm_l} \rvert^2 = 1

时刻t，Φnlml(r,θ φ)\Phi_{nlm_l}(r,\theta\,\varphi)​​描述的态出现的概率为

∣Cnlml∣2\lvert C_{nlm_l} \rvert^2

故时刻t该态对应的各力学量（能量EnE_n，角动量平方L2L^2，角动量分量LzL_z）的本征值出现的概率为

∣Cnlml∣2\lvert C_{nlm_l} \rvert^2

  • 时刻t能量的测量值为EnE_n的概率

    ∑lml∣Cnlml∣2\sum_{lm_l} \lvert C_{nlm_l} \rvert^2

  • 时刻t角动量平方的测量值为l(l+1)ℏ2l(l+1)\hbar^2的概率

    ∑ml∣Cnlml∣2\sum_{m_l}\lvert C_{nlm_l} \rvert^2

  • 时刻t角动量平方的测量值为mlℏm_l \hbar的概率

    ∣Cnlml∣2\lvert C_{nlm_l} \rvert^2

电子的概率分布

电子在空间的概率分布

ρdV=∣Ψ∣2dV=∣Ψ(r,θ,φ)∣2r2sin⁡θdrdθdφ\rho dV = \lvert \Psi \rvert ^2 dV = \lvert \Psi(r,\theta,\varphi) \rvert ^2 r^2 \sin \theta dr d\theta d\varphi

径向几率分布

氢原子的径向几率分布

Wnl(r)dr=∣Rnl(r)∣2r2drW_{nl}(r)dr = \lvert R_{nl}(r) \rvert^2r^2 dr \\

任意波函数的径向几率分布

ρ(r)dr=r2dr∫−π2π2sin⁡θdθ∫0π∣Ψ(r,θ,φ)∣2dφ  ⟹  ρ(r)=r2∫−π2π2sin⁡θdθ∫0π∣Ψ(r,θ,φ)∣2dφ\rho(r) dr = r^2 dr \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin \theta d\theta \int_0^\pi \lvert \Psi(r,\theta,\varphi) \rvert^2 d\varphi \\ \implies \rho(r) = r^2\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin \theta d\theta \int_0^\pi \lvert \Psi(r,\theta,\varphi) \rvert^2 d\varphi

角向几率分布

Wlml(θ,φ)dΩ=∣Ylml(θ,φ)∣2dΩW_{lm_l}(\theta,\varphi) d\Omega = \lvert Y_{lm_l}(\theta,\varphi) \rvert^2 d\Omega

其中立体角元为

dΩ=sin⁡θdθdφd\Omega = \sin \theta d \theta d\varphi

任意波函数的角向几率分布

ρ(θ,φ)dθdφ=dθdφ∫0∞∣Ψ(r,θ,φ)∣2r2drρ(θ,φ)=∫0∞∣Ψ(r,θ,φ)∣2r2dr\rho(\theta,\varphi)d\theta d\varphi = d\theta d\varphi \int_{0}^\infty \lvert \Psi(r,\theta,\varphi) \rvert^2 r^2 dr \\ \rho(\theta,\varphi) = \int_{0}^\infty \lvert \Psi(r,\theta,\varphi) \rvert^2 r^2 dr

注意这里面角度的定义

φ:0→2πθ:0→π\varphi : 0\to 2\pi \quad \theta: 0 \to \pi

数学工具

球坐标系积分方法

立体角元和积分范围

dV=r2sin⁡θdrdθdϕφ:0→2πθ:0→πr:0→∞dV = r^2 \sin \theta dr d\theta d\phi \\ \varphi : 0\to 2\pi \quad \theta: 0 \to \pi \quad r: 0 \to \infty

0%